Erreur et Conceptualisation

Soit la définition du concept d'ensemble G(A), suivant notre représentation « le concept d'ensemble » , établie en A.2. de la page Typologie des concepts de l'item Structures du menu :

([A^e = {a₁, a₂, a₃, … a_n}], [A^c = {a_i ∈ A^e}])

La caractéristique unique du concept d'un ensemble, c'est que tous les éléments qui le composent lui appartiennent.

Considérons maintenant l'objet suivant G_i(A):

([A^e = {a₁, a₂, a₃, … a_n}], [A^c = {a_i ∉ A^e}])

La caractéristique unique de cet objet est alors qu'aucun des éléments qui le composent ne lui appartient. C'est quelque chose qui n'a aucun correspondant direct ni indirect dans le monde réel : on ne peut donc actuellement lui assigner aucune valeur dans le langage dont les concepts, dans notre représentation, ont tous pour origine le monde réel, fussent-ils abstraits ou résultant d'une pure construction linguistique. Pourtant, notre formalisation des concepts autorise une telle écriture. 

Les mathématiciens ont eu à résoudre une semblable étrangeté formulée dans le paradoxe de Russel : 

Y = { x|x ∉ x }

Soit : « l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction à nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend paradoxale l'existence d'un tel ensemble. » La contradiction a été bloquée en définissant la notion mathématique de classe propre, qui ne peut pas être un élément d'une classe ni, à fortiori, d'un ensemble. Il est important de bien voir que dans le langage, classe propre est un concept, et donc un ensemble, et en a toutes les propriétés ; mais que dans la théorie mathématique l'objet classe propre n'est pas un ensemble, et a été défini précisément pour s'en distinguer.  Que faire, donc, de notre objet G_i(A) ? De même que, lorsque Pythagore a établi son fameux théorème, il a bien fallu imaginer, à côté des nombres entiers naturels jusque là satisfaisants, des nombres réels tels que √2, ou encore il a bien fallu admettre que √-1, une aberration puisque (-1)²=1, fonctionnait dans la théorie des nombres complexes élaborée au XVI^e siècle, il va nous falloir aussi faire preuve de créativité. Et précisément, de même qu'un nombre complexe a+ib, comporte une partie réelle, a, et une partie imaginaire ib, on peut organiser nos concepts en concepts réels et concepts imaginaires. Voyons pourquoi, et avec quel avantage.

Considérons notre espace-temps à 4 dimensions (qui, en réalité, est un espace euclidien à 3 dimensions auxquelles nous ajoutons le temps, pour simplifier, comme quatrième dimension) E(4), et un espace imaginaire muni d'une cinquième dimension E_i(5) :

E(4) = {x, y, z, t}
E_i(5) = {x, y, z, t, ω}

Considérons ensuite l'ensemble G(A) : il est défini - tous ses éléments sont définis - dans E(4), les concepts étant issus de notre expérience du monde. On dira que G(A) est un concept réel. Considérons maintenant un objet G_i(A), dont tous les éléments (a_i) soient définis uniquement dans la dimension (ω) On peut écrire que, dans le sous-espace à une dimension E_j(1) = {ω}, l'objet G_i(A) est un concept réel G(A). Et que dans le sous-espace à 4 dimensions E_k(4) = {x, y, z, t}, il n'est pas un concept réel. Un tel objet G_i(A), qu'on peut appeler concept complexe parce qu'il adopte une structure duale qui comporte un concept réel et un objet qui ne l'est pas, reste alors compatible avec celui de concept réel G(A) précédemment défini puisqu'il le comporte. Pour tenter d'éclaircir ce qu'est cet objet qui n'est pas un concept réel, intéressons-nous maintenant à un concept particulier, le concept d'erreur. Si nous considérons sa définition rapportée à l'action, puisque la plupart de nos concepts sont initialement construits à partir d'actions, nous trouvons dans le dictionnaire larousse : 

1. Acte de se tromper, d'adopter ou d'exposer une opinion non conforme à la vérité, de tenir pour vrai ce qui est faux

On peut alors représenter le concept de résultat de la manière suivante :

([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i tel que (arg₁ + arg₂ + … arg_j +… arg_n → r_i  )}])

Un résultat est la conséquence de N arguments chaînés. Le concept d'erreur est alors construit par un sujet S en deux temps : 

1. S construit, à un instant t₁,  la chaîne d'arguments (arg₁ + arg₂ + … arg_j +… arg_n et en déduit r_k ). Il peut alors considérer r_k comme un résultat tel que défini plus haut :
   
   ([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_k ∈ R^e}])
    
2. À un instant t₂, en relisant la démonstration il s'aperçoit que, pour une raison ici quelconque, il ne peut pas y introduire l'argument (arg_j),  et donc qu'il ne peut déduire r_k : on a alors la structure suivante :
   
   ([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_k ∉ R^e}]). 
   
   Résultat à t₁, r_k n'est pas un résultat à t₂. Il appartient à un ensemble de résultats qui n'en sont pas, à un ensemble de résultats imaginaires que nous appelons erreurs.

Il en résulte que la représentation

([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i ∉ R^e}])

désigne bien un concept imaginaire puisqu'à t₁, le sujet S a considéré r_i comme un résultat, mais qu'à t₂, le sujet reconsidère qu'il n'en est pas un :

([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i ∈ R^e}])_t1
et
([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i ∉ R^e}])_t2.

Ces deux objets constituent donc un concept complexe G_i(A) à structure duale comme précédemment, où les éléments sont un concept réel d'une part, et un concept imaginaire d'autre part. Dans nos exemples, la dualité d'un concept complexe est d'ordre spatial dans le premier cas, temporel dans le second. Ces variations dans le référentiel supposent une organisation qui peut les manipuler, que nous appellerons sujet.

On peut remarquer que dans le cas de l'erreur, le concept initial (à t₁) est réel, et le concept final (à t₂) est imaginaire[1] :

([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {(r_i ∈ R^e), (r_i tel que (arg₁ + arg₂ + … arg_j +… arg_n → r_i)}])_t1
et
([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i ∉ R^e}])_t2

Pour reprendre la définition de Larousse, on a tenu pour vrai - notre opinion a été démontrée ou était démontrable, c'est un résultat - ce qui en réalité est faux - la démonstration était incorrecte ou ne peut être menée à son terme, ce n'est pas un résultat.  Que représente alors dans l'esprit du sujet le concept complexe inverse, où le concept initial (à t₁) est imaginaire, et le concept final (à t₂) est réel, auquel nous avons ajouté la caractéristique qu'il est un concept : 

([R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {r_i ∉ R^e}])_t1
et
[R^e = {r₁, r₂, r₃, … r_n}], [R^c = {(r_i ∈ R^e), (r_i ≤ concept)}])_t2

On voit qu'à t₂, l'ensemble est constitué, un concept est construit, alors qu'à t₁ il ne l'est pas, rien ne l'est. C'est la représentation de la conceptualisation, à laquelle correspond la définition du mot conceptualiser dans le dictionnaire Larousse : 

Élever au niveau du concept des pratiques empiriques ; organiser en concepts : Une théorie qui conceptualise des pratiques diverses

On remarquera que, dans ce dernier cas, pour passer de t₁ à t₂, Larousse fournit dans son exemple la construction de toute une théorie. Il peut en aller de même pour réussir à démontrer l'erreur. On peut donc raisonnablement penser que les concepts complexes ouvrent tout un espace dans lequel le sujet va pouvoir ou devoir déployer un grand nombre d'opérations et calculs qui lui seront nécessaires pour réussir à construire le concept terminal ou à le réfuter.

NOTES

*****

[1] Cela peut sembler contre-intuitif : en effet, on peut penser que puisque c'est à t₁ que l'erreur est commise, le raisonnement contruit à ce moment là est faux et donc imaginaire, et qu'au contraire à t₂, la découverte de l'erreur amène à conclure que le résultat n'en est pas un, ce qui est réel. Et c'est vrai. Mais ce qu'on observe ici, ce ne sont pas les actions du sujet dans le monde réel mais les concepts, c-à-d. des représentations de la réalité (le monde que nous ne pouvons appréhender que de cette manière), qui ne s'exécutent - ne sont élaborés - que dans l'esprit d'un sujet. Dans cet espace représentatif, celui qui commet l'erreur, au départ, construit un concept réel, c-a-d. qui représente pour lui une réalité, et ce n'est que dans un temps second qu'il constate que ce qu'il a construit n'est pas réel mais imaginaire, et cela ne s'impose dans son esprit que parce qu'il a construit sa représentation avec le concept imaginaire.