Le système logico-conceptuel :

I. Les termes

Le type ne représente pas une substance dont les occurrences marqueraient les accidents ; il n’est lui-même qu’une collection structurée d’accidents, momentanément considérés comme invariants »

François RASTIER

T1     Un concept est un terme.

T2     Un concept est un ensemble, muni de la structure de groupe, dont on associe à chaque élément un autre ensemble représentant l’invariant déterminé par le groupe.

 

A. Le groupe

 

Soit la définition du groupe[1] :

Un groupe peut être défini comme un triple {E, o, =}, où E est un ensemble non vide, ‘o’ une opération binaire qui, appliquée à des éléments de E redonne un élément de E, ‘=’ une relation d'équivalence et tel que, pour tout x,y,z E :

(G₁)   x o (y o z) = (x o y) o z

(G₂)   il existe un e Î E, tel que e o x = x = x o e

(G₃)   il existe un x’ tel que x’ o x = e = x o x’

1. Structures perceptives

Dans un premier temps, afin de saisir intuitivement comment opère la structure de groupe, considérons l’exemple simple suivant. En regardant le ciel nocturne avec une lunette, nous observons dans les champs successifs de vision que nous offre la lunette ici une étoile, là simplement du noir, là encore un nuage luminescent, etc. Sur l’ensemble des déplacements que nous faisons effectuer à la lunette, nous pouvons grouper certains d’entre eux de manière que, dans chaque perception qui suit une opération de déplacement, quelque chose, dans notre champ de vision, reste le même (l’existence d’une seule étoile dans la perception résultante, par exemple). D’autre part, observons que dans la suite des opérations que nous effectuons, si nous revenons à une perception immédiatement antérieure, pour effectuer une comparaison par exemple, c’est par une opération inverse que la transformation que nous effectuions dans ces perceptions revient à la perception initiale. Enfin, si nous déplaçons la lunette, et que, nous ravisant, nous revenons immédiatement à la position initiale, nous observons alors la même perception. Nous avons alors là tous les éléments qui caractérisent un groupe. En effet :

- l’ensemble E est l’ensemble de nos perceptions d’une étoile.

- l’opération ‘o’ est une opération consistant à déplacer la lunette du champ où l’on percevait une étoile jusqu’à un autre champ de perception contenant une autre étoile : cette opération de changement appliquée à la perception d’une étoile pour une autre étoile redonne bien, c’est évident, une perception d’étoile. On dira aussi qu’on transforme une perception en une autre perception.

- pour ce qui concerne l’axiome G₁, on voit immédiatement que l’ensemble opératoire

 (perception O₁ - opération - perception O₂) - opération - perception O₃ 

est équivalent à

perception O₁ - opération - (perception O₂ - opération - perception O₃)

puisque dans ce cas précis x o y = y.

- comme l’exprime G₂, le changement qui aboutit au même champ associe à l’élément initial un élément e qui est la perception identique, puisque cet élément est exactement le même que la perception initiale.

- G₃, enfin, est également respecté :  si x est le changement de champ d’un point (p₁) menant à un autre point (p₂), x’ est le changement inverse menant de (p₂) à (p₁)[2].

Il résulte alors que les déplacements que nous faisons effectuer à la lunette, que nous appellerons « observations d’une étoile », opérant sur l’ensemble des éléments « perception d’une étoile », laissent invariante la structure qui constitue la relation entre les perceptions : l’étoile que ces perceptions contiennent. C’est le groupe de ces opérations (c’est-à-dire leur structuration en groupe, tel que nous l’avons défini abstraitement) qui isole de l’ensemble de ce qu’on peut percevoir et donc détermine l’existence d’un caractère commun aux perceptions ainsi structurées. Dans notre exemple, étant donné que le noir est le degré zéro de la perception, ce caractère commun devient l’objet unique de la perception : on dispose ainsi d’un objet perceptif ou d’une structure perceptive, ou encore d’un percept.

Nous avons laissé de côté un des éléments de la structure de groupe : la relation d’équivalence notée ‘=’. Elle vient d’être illustrée : l’ensemble des perceptions produites par les opérations « observation d’une étoile » sont toutes équivalentes en ceci qu’elles contiennent toutes le caractère commun « étoile ». Cette relation d’équivalence entre les perceptions est caractéristique du groupe des « observations d’une étoile ». On remarquera également que l’ensemble que construit ce groupe est un sous ensemble de celui que construit le groupe des « observations dans le ciel » : ici l’invariant est non plus une « étoile », mais un « objet céleste », lui-même sous-ensemble de l’ensemble général des « objets perçus », tous constitués à partir d’opérations d’observation plus complexes suivant que les éléments de l’ensemble sont plus précis (elles constituent elles-mêmes une famille : observer à la lunette, au télescope, à l’oeil nu, la partie du monde qui est au-dessus de nos têtes, etc.). On a ainsi une première idée du chaînage qui existe entre les objets, qui sont, dans leur aspect perceptuel, munis d’une structure de groupe[3] : de même que les ensembles d’objets célestes, d’étoiles, de géantes rouges s’emboîtent, de même les géantes rouges sont des étoiles, qui elles-mêmes sont des objets célestes.

2. Structures abstraites

Dans un nouvel exemple, en tournant autour d’un objet cubique, nous sommes parfaitement capables de déterminer que, si les angles multiples ou les perspectives différentes de l’objet constituent des perceptions distinctes, nos déplacements en observant l’objet laissent sa forme invariante : en abstrayant les détails particuliers à chaque perception, c’est cette forme précisément que nous appellerons un cube. Les mathématiciens ont parfaitement formalisé, dans la construction des transformations ponctuelles de la géométrie euclidienne, les étapes successives de cette opération complexe : « Tous les triangles semblables à un triangle donné sont en relation d’équivalence entre eux par le groupe des similitudes. Cette structure est donc le caractère représentatif de la relation d’équivalence. Chaque classe correspond à une « valeur » de ce caractère, ici une forme particulière de triangle. On doit donc abstraire ce caractère, autrement dit constituer le concept abstrait défini par cette structure. Dans notre exemple, les éléments sont les points, tout groupement de trois points porte la structure invariante « triangle de forme donnée » avec une « valeur » particulière de cette forme qui est commune à tous les groupements associés déduits du premier par les opérations du groupe des similitudes. Un groupement de quatre points portera de même une valeur particulière de la structure invariante « quadrilatère de forme donnée », concept abstrait relatif à tous ces groupements. Le concept général de forme s’abstraira par le même procédé : si l’on considère tous les groupements possibles de points, ils sont eux-mêmes les éléments d’un ensemble sur lequel opère le groupe. Les sous-ensembles découpés dans cet ensemble par la réunion des groupements qu’on peut associer par les opérations du groupe sont des classes d’équivalence ; la relation d’équivalence est la similitude en général ; le concept abstrait représentatif est la forme. Ses valeurs particulières sont toutes les formes possibles, chacune commune à une classe d’équivalence[4] ».

Sans que l’explication fût détaillée pas-à-pas, comme précédemment, on a compris qu’ici encore le groupe détermine des invariants que Jean ULLMO appelle des concepts abstraits. Les éléments qu’il construit ne sont cependant pas les mêmes que dans l’exemple précédent : ce sont des éléments abstraits, virtuels, et non plus des perceptions (sauf à être représentés approximativement au tableau noir) : les points et les lignes droites n’existent pas dans l’univers que nous percevons, et il ne peut donc y avoir correspondance biunivoque entre l’objet réel et l’image que nous percevons. On ne peut donc plus dire que l’invariant est ici une structure perceptive. D’un autre côté, dans notre perspective, considérer d’emblée qu’il s’agit d’un concept abstrait, c’est user des facilités du langage naturel, ce qui, on verra comment en détail, laisse aux soins de l’interlocuteur la vérification de la cohérence du discours. En l’occurrence, Jean ULLMO assigne à la structure de groupe opérant sur des éléments abstraits le pouvoir de construire le concept abstrait : or d’une part cette assignation ne permet pas de définir ce qu’est le concept non abstrait, et notamment le concept tout court, et d’autre part elle suppose le problème résolu (ce qui est tout-à-fait normal dans le discours de Jean ULLMO, qui effectue ici une communication en tant que physicien) : il est renvoyé dans l’espace de l’accord tacite commun à l’auteur et au lecteur, tous deux usagers du langage. Nous nous contenterons donc simplement d’observer qu’ici l’invariant est une structure abstraite puisque obtenue à partir d’un groupe opérant sur des éléments abstraits.

3. Structures linguistiques

Supposons maintenant que nous avons construit un vaste ensemble de structures perceptives et que nous avons nommé ces structures, c’est-à-dire que nous leur avons fait correspondre un signe qui leur est propre : nous pouvons alors, toujours via la structure de groupe, construire un dictionnaire.  Dans celui-ci, notre étoile sera devenue la structure linguistique suivante : « point brillant, dans le ciel, la nuit, ROBERT, 1970 ». L’ensemble initialement considéré, mais distinct de l’ensemble E du groupe, est l’ensemble des « points » (distincts du point mathématique, considéré dans l’exemple précédent). Il y en a des gros, des jaunes, des bleus, des petits, ceux qui sont écrits sur une lettre, ceux qu’on aperçoit dans le ciel, etc. L’opération du groupe, qui est ici virtualisée puisqu’on ne reconstruit pas le groupe comme précédemment dans la recherche des étoiles (c’est précisément un des objets de cette étude que de parvenir à construire cet ensemble d’opérations rigoureusement) - on observe simplement la structure de son invariant, cette opération donc découpe dans cet ensemble un sous-ensemble précis : celui des points qui sont brillants, situés dans le ciel nocturne. Tous ces éléments « étoile » sont donc équivalents en ce qu’ils sont des « points » dont le caractère commun est qu’ils sont « brillants », situés dans le « ciel », « la nuit ».

Or l’organisation du dictionnaire nous amène à nous apercevoir que les éléments du groupe qui construit le sous-ensemble « étoile » sont eux-mêmes construits exactement de la même manière que celui-ci : un « point » y est par exemple une « portion d’espace dont toutes les dimensions linéaires sont nulles, ROBERT, 1970 ». Sans nous attarder pour l’instant sur le caractère commun aux éléments de ce nouveau sous-ensemble, nous voyons qu’il est construit à partir d’un nouvel ensemble dont les éléments sont les « parties de l’espace », et ainsi de suite. Il en résulte donc deux observations : d’une part, les ensembles d’éléments sont ordonnés : une étoile [1] est un point [2] (particulier) qui est une partie de l’espace [3] (particulière), etc. D’autre part, il existe un caractère commun à tous ces groupes : les éléments qu’ils construisent sont tous bâtis de la même manière, ce sont tous des sous-ensembles d’ensembles caractérisés par un invariant, qui ne sont plus maintenant des perceptions, mais le résultat d’opérations manipulant un mécanisme distinct : on n’utilise plus de lunette, on n’effectue plus d’opérations mettant en jeu des objets matériels, mais des opérations abstraites du langage. L’existence de cette classe de groupes dont les éléments appartiennent à des groupes faisant intervenir identiquement les opérations du langage semble alors correspondre à ce que nous nommons habituellement concept, « représentation mentale générale et abstraite d’un objet, ROBERT, 1970 », dont l’explicitation est précisément rattachée au langage, et que nous distinguons du percept, « objet de la perception, sans référence à une chose en soi (opposé à concept), ROBERT, 1970 ». On notera que si l’on ne dispose pas de l’instrument qui construit ce concept, le groupe, il faut alors effectivement postuler l’existence, dans la réalité, d’une « chose en soi » qui permet d’éviter que le concept ne renvoie exclusivement à d’autres concepts, dans une inacceptable circularité.

Pour ce qui concerne notre propos, trois remarques s’imposent.

D’une part, il est évident que la classe des groupes construits à partir d’opérations linguistiques n’existe que parce qu’au départ, les éléments initiaux n’étaient pas des produits structuraux linguistiques : lorsque l’on a construit les invariants d’un certain nombre de groupes d’opérations perceptifs à partir du tissu initialement lisse, indifférencié parce que précisément sans caractère, de la réalité[5], alors, et alors seulement, en affectant à chacun un signe distinctif qui le représente, on peut commencer à construire des groupes sémiotiques[6], et s’il s’agit de signes linguistiques, des structures linguistiques : c’est à partir d’ensembles invariants construits comme notre ensemble invariant « étoile », qu’on pourra par la suite construire le groupe linguistique « étoile ». Il est alors nécessaire, sous peine d’incohérence absolue entre la représentation perceptive de la réalité et sa représentation linguistique, que les deux ensembles invariants, l’un d’origine perceptive et l’autre d’origine linguistique, correspondant au même signe, « étoile », puissent se correspondre exactement dans une relation biunivoque[7] :  il faut donc que les groupes d’opérations qui leur correspondent soient des réalisations d’un groupe particulier, unique, que l’on appellera groupe abstrait[8].

D’autre part, on perçoit bien intuitivement que les éléments abstraits des structures de la seconde classe dont nous avons donné un exemple, les structures abstraites, ont quelque chose à voir avec les structures linguistiques de la troisième classe[9]. En l’occurrence, on « sait » bien que le point mathématique est un concept, mais on ne peut pas encore l’affirmer puisque précisément, c’est l’objet que l’on cherche à définir : nous ne disposons pas pour l’instant des instruments nécessaires pour expliciter rigoureusement ce lien. Ce n’est qu’au terme de notre étude qu’il nous sera possible de voir que ces éléments abstraits sont eux aussi des produits des structures complexes qu’élabore le langage, et donc finalement des ensembles invariants.

Enfin, à ces considérations d’ordre structural correspond une nécessité d’ordre logique, qui a trait au caractère effectif du système formel dont nous entreprenons la construction, caractère dont nous traiteront ultérieurement : il est essentiel que nos termes puissent être effectivement déterminés, c’est-à-dire, grosso-modo, déterminés à partir d’un ensemble fini d’opérations.

Nous sommes donc amenés à inclure dans la formation du concept les groupes opérant sur des « éléments expérimentaux[10] » dont les perceptions font partie : les percepts y deviennent une variété, un sous-ensemble des concepts. C’est, du reste, structurellement intéressant, car cela permet de poser l’hypothèse que les opérations mentales mise en oeuvre dans des espaces sémiotiques non linguistiques, comme les jeux (échecs, dames, cartes etc.) par exemple, procéderaient de celles du langage. Comme la construction d’un système formel ne comporte en soi aucune contrainte, (la seule que se donne le constructeur, c’est que son système rende effectivement compte de la théorie intuitive qu’il formalise, et donc que les interprétations qu’il en fera correspondront à la réalité), il nous faut donc ajouter une définition pour circonscrire davantage nos termes :

T3     Le groupe qui construit un concept est un groupe abstrait, qui admet pour éléments de l’ensemble E soit des données expérimentales, soit des éléments appartenant à d’autres concepts.

 

B. Les ensembles du groupe

 

Dans les groupes concernés par nos définitions, considérons maintenant les ensembles munis de cette structure. Les ensembles ici mis en oeuvre sont des éléments abstraits - non matériels - (distincts pour l’instant des structures abstraites que l’on a vues plus haut en ceci que nous connaissons par définition le mode de fabrication de ces ensembles) parce qu’ils sont le produit d’une structure abstraite, le groupe. Cette qualité d’abstraction inhérente à la construction n’empêche pas qu’ils puissent également être réels. Un sac contenant dix billes nous permet de déterminer un ensemble réel de dix billes, c’est-à-dire qui est définissable dans l’espace-temps. La réalité de l’ensemble est ici conférée par la réalité de ses éléments. Si donc, au cours de nos observations nocturnes, nous avons repéré dix points lumineux dans le ciel, nous avons un ensemble réel composé de dix perceptions qui sont des étoiles.

Chaque élément qui compose cet ensemble est défini dans l’espace-temps : telle étoile a été observée à telles coordonnées, à telle heure. Supposons maintenant que nous répétions la même opération de recherche d’étoiles le lendemain : les perceptions comportant un point lumineux observées ce soir là, et aux coordonnées distinctes des précédentes, seront-elles aussi des étoiles. Si nous en avons observé quatre nouvelles, notre ensemble atteint maintenant quatorze étoiles. Il est donc parfaitement légitime que nous considérions comme faisant partie de l’ensemble « étoile » tous les points lumineux potentiellement observables du ciel nocturne, puisqu’ils posséderont tous en définitive le caractère commun défini par le groupe. Cela fait, avec une très grosse approximation, environ 10²² étoiles. C’est donc un très grand ensemble, mais qui est fini dans l’univers observable. Pouvons-nous alors décider qu’au-delà de l’univers observable il n’y a plus d’étoiles ? Ce serait dans un cas accepter une potentialité d’observation, dans un autre cas la refuser. Nous sommes donc amenés à concevoir notre ensemble d’invariants « étoile » comme un ensemble infini (dont nous ne pouvons actuellement connaître la limite), mais dont les éléments doivent exister (un jour) dans un univers donné (si nous reculons les limites de notre univers actuel, celui qui est actuellement observable, nous aurons alors affaire à un nouvel univers qui contiendra le premier).

Pour pouvoir représenter ceci, il faut donc d’une part considérer que les ensembles sur lesquels agissent les opérations des groupes sont des ensembles infinis. Evidemment, dans la construction linguistique du concept, l’ensemble infini produit du groupe sera contenu dans l’ensemble infini initialement considéré : si les étoiles sont des « points » particuliers, leur infinité (qui comprend les étoiles réelles et les étoiles imaginaires) est incluse dans celle des « points ». Un ensemble infini sous‑ensemble d’un autre ensemble infini est une situation familière aux mathématiciens, et est donc parfaitement acceptable ici. D’autre part, comme nos étoiles sont aussi les produits d’un groupe défini par des opérations d’observation qui sont réelles ou réalisables, il en résulte que leur réalité[11] est atteinte par ces observations réelles (elle en est une conséquence immédiate), ou qu’elle est atteignable par un groupe d’opérations potentiellement réalisables : les étoiles d’univers différents de l’univers observable doivent donc être atteintes par des observations réalisables dans ces univers. Leur réalité dans ces univers est donc nécessaire. Quel que soit l’univers considéré, l’appartenance d’un élément à celui-ci peut être caractérisée par l’association à cet élément de coordonnées spatio-temporelles. Cet élément existe dans cet univers lorsqu’il est localisé à tel endroit à tel instant. Etant donné que quel que soit le nombre de dimensions d’un univers, on peut toujours associer chaque élément défini sur l’ensemble des dimensions - celle des instants-points pour l’espace-temps - aux points d’une dimension unique, il est donc toujours possible d’associer chaque élément de nos ensembles d’invariants à un nombre entier qui le caractérise dans l’ensemble qui est alors ordonné. Un tel ensemble est appelé un ensemble récursivement énumérable. Nous devons donc ajouter une définition au corps de celles qui construisent nos termes :

T4     L’ensemble E du groupe construisant un concept est un ensemble infini récursivement énumérable.         

 

C. Les groupes complexes

 

T5     Si A et B sont des termes, (A) ∪ (B) et (A) ∩ (B) sont des termes.

Cette nouvelle définition étend le domaine de définition des termes : un terme peut être le produit d’une opération binaire sur d’autres termes. Pourquoi introduire cette définition ? Pourquoi deux opérations ? Ceci nous amène maintenant à nous rapprocher du langage naturel. D’une part il nous faut déterminer, dans le matériel que le langage utilise au sein des syntagmes de la chaîne parlée ou écrite, comment sont représentés les concepts du premier type, c’est-à-dire qui ne sont pas formés par une opération binaire sur deux autres termes. Ensuite il nous faudra voir comment le langage naturel exprime les deux opérations binaires et quelles sont alors les configurations des termes résultants.

1. l’objet concret

Nous avons vu que pour transformer un groupe perceptif en groupe manipulable par le langage, il fallait le nommer: A l’invariant qui se constitue progressivement en image d’une partie de la réalité pour former un objet, grâce à un groupe d’opérations mises en oeuvre par le sujet, celui-ci associe un signe conventionnel - une chaîne de phonèmes ou de caractères, voire initialement un signe quelconque - qui le représente : la présence de ce signe dans une communication ou simplement dans notre esprit désigne alors ce groupe. Dans le langage naturel, il est représenté de la manière la plus simple par un substantif. Dans notre système formel, nous le représenterons d’une manière générique par une lettre minuscule de l’alphabet, par ex. : a.

En tant qu’invariant d’un groupe, il représente d’une part conventionnellement à la fois l’ensemble E des éléments qui sont munis de cette structure, que nous noterons :

{a₁, a₂, a₃,..., a_n}

et représenterons d’une manière générique par A^e ; cet ensemble correspond à ce que l’on nomme traditionnellement l’extension du concept. C’est l’ensemble infini des étoiles de notre concept « étoile ». a représente d’autre part le caractère commun ou l’ensemble des caractères communs à ces éléments :  nous le noterons :

{c₁, c₂, c₃,..., c_n}

et le représenterons d’une manière générique par A^c, cet ensemble correspondant alors à ce que l’on nomme traditionnellement la compréhension du concept. C’est la « structure » propre à l’étoile, qui la distingue des autres objets, à savoir dans notre définition un « point brillant dans le ciel, la nuit », qui est un ensemble d’opérations strictement linguistiques mettant en oeuvre un certain nombre d’autres concepts, mais auquel on peut associer également la structure visuelle de l’image, conformément au caractère abstrait dont est doté le groupe construisant le concept.

Nous avons vu d’autre part qu’un élément de l’ensemble A^e, lorsqu’il s’agit d’un élément réel, est défini dans la réalité, c’est-à-dire l’espace-temps (cf. supra). Nous représenterons donc cette réalité en associant à cet élément quatre coordonnées notées (x₁, y_j, z_k, t_m) dont les trois premières constitutives de la position de a dans l’espace pourront être regroupées en (l_i), le langage naturel utilisant souvent un concept déterminé (tel aéroport est situé dans telle ville, le verre sur la table, etc. ) pour représenter la situation dans l’espace. Le caractère concret d’un élément, lorsqu’il se superpose à sa réalité, est alors assuré par le fait que c’est l’élément lui-même qui est défini dans l’espace-temps (a contrario, voir infra deux objets abstraits) : il y a une image propre perceptible. Avant d’observer la représentation de cette réalité d’un élément concret dans le langage naturel, il nous faut encore avancer dans l’analyse.

2. deux objets abstraits : l’état de la réalité et l’événement

Dans l’élaboration progressive du matériel conceptuel, c’est non seulement les objets concrets que la réalité nous présente, mais l’ensemble des formes permanentes de la réalité perçue qui sont érigées en concept par le sujet grâce à la constitution d’ensembles opératoires en groupes. Au cours de la construction des objets à partir des perceptions, cette élaboration atteint un stade critique lorsque le champ visuel (principal champ perceptif qui, au départ, initialise cette construction) de la réalité est considéré comme un « état » de celle-ci. Il ne s’agit plus en effet, à ce moment, de déterminer simplement, au travers d’un continuum perceptif toujours changeant, des éléments permanents qui y prennent place épisodiquement ; mais de passer à un niveau supérieur en considérant l’ensemble des objets présents et immobiles dans le champ perceptif pendant une durée déterminée comme un « état » de la réalité, c’est-à-dire de constituer le champ perceptif lui-même en objet dont, conformément à la structure de groupe dont il est muni, on peut multiplier les exemplaires à l’infini. On a alors constitué un objet abstrait, comme notre ensemble de tout à l’heure, en ceci qu’il n’a pas lui-même de correspondant dans la réalité, mais que ce sont les éléments qu’il met en jeu ou dont il est constitutif de la relation qui existe entre eux - dans le cas de notre ensemble, ceux qui le composent - qui en disposent[12].  A partir de ce moment, grâce à l’élaboration antérieure des objets qui y prennent place, le champ perceptif va pouvoir être étudié.

Certains objets vont y « apparaître », ou y « disparaître », étant donné que le reste du champ reste identique à lui-même :

          ìt₀          objet a absent du champ           (pas de coordonnées spatio-temporelles)

          í

          ît₁          objet a dans le champ               (x₁, y_j, z_k, t₁)

Le champ étant maintenant un objet à part entière, on peut en considérer successivement deux états (deux éléments de l’ensemble des « états de la réalité ») : l’un, à l’instant t₀, ne contient pas l’objet a, l’autre à l’instant t₁, le contient. Cette séquence d’états, si l’on en reste à un stade strictement perceptif, et que l’on en multiplie les exemplaires avec des objets a différents, va se constituer progressivement en invariant qui en fin de compte va représenter l’apparition de l’objet a à l’instant t₁. De même, la séquence inverse :

          ìt₀          objet a dans le champ               (x₁, y_j, z_k, t₀)

          í

          ît₁          objet a absent du champ           (pas de coordonnées spatio-temporelles)

va alors représenter la disparition de l’objet a à l’instant t₁. On peut poursuivre :

          ìt₀          objet a à l₀ dans le champ

          í

          ît₁          objet a à l₁ dans le champ

représente que a est déplacé si l₀ représente la position initiale de a dans le champ et l₁ sa position finale, etc.

A ce stade de l’élaboration, on dispose donc d’un ensemble particulier de concepts, représentant ces systèmes, dont le caractère commun aux éléments de l’ensemble E est qu’ils sont tous des modifications d’un état de la réalité. Cet ensemble, qui est nommé événement, n’a cependant pas acquis dans le langage naturel l’importance incontournable d’un de ses sous-ensembles : l’action.

3. L’action.

Considérons l’un des systèmes précédemment décrit, celui qui représente que a est déplacé. L’étape suivante de l’élaboration conceptuelle apparaît notamment[13] lorsqu’on se rend compte que beaucoup d’objets, dans la réalité, ne se déplacent pas tout seuls, mais qu’il faut bien qu’on les déplace. Nous avons vu antérieurement qu’il n’était possible de construire des objets à partir d’une réalité initialement lisse - sans objet - qu’en prenant conscience de notre corps (cf. note 6). Nos premiers groupes n’ont été construits qu’à partir de nos propres actions, sans qu’ils aient été probablement plus élaborés que la perception d’une sensation particulière que nous puissions reconnaître - et par là constituer en invariant - en répétant ces actions : étendre un bras, toucher un objet, etc. S’ils ont ainsi permis initialement à la structure de groupe d’investir en quelque sorte la conscience, et à la suite de déterminer des régularités dans le champ perceptif extérieur, constituant ainsi les objets, ils sont maintenant rattachables à certaines variations des états de la réalité : la quille tombe chaque fois que je la pousse de la main, la bille roule chaque fois que je lui donne un coup de pied etc. « je », par l’intermédiaire de « mon » bras ou de « ma » main fais maintenant partie de l’invariant de certains changements dans la réalité, et lorsque je suis enfin capable d’objectiver ce « je » comme élément d’un ensemble de personnes ({« je », « papa », « maman »}), je peux alors construire le concept d’action : c’est une modification d’un état de la réalité qui ne se réalise que par l’intermédiaire d’un objet particulier. Ce sont fréquemment des êtres vivants qui produisent des actions, mais cette fonction est également étendue aux objets : « le chien ronge son os », « le haut parleur fait du bruit », « le catalyseur dissocie la molécule ».

Dans le groupe des actions, qui apparaît ainsi comme un concept complexe par opposition au groupe des objets construisant des concepts simples (en ceci qu’ils correspondent à un objet unique), un certain nombre d’objets vont entretenir diverses relations. Dans notre exemple initial, a est déplacé, si nous introduisons un objet x sans lequel le déplacement ne se produit pas :

                                    ìt₀        objet a à l₀ dans le champ

          (x, {a})               í

                                    ît₁        objet a à l₁ dans le champ

nous représentons alors x déplace a ou a est déplacé par x. A considérer les choses ainsi, rien n’interdit d’affecter à nos variables génériques x et a des valeurs quelconques, c’est-à-dire ici de les remplacer par des objets quelconques. Pourtant, la réalité nous interdit d’opérer certaines combinaisons. D’une part, au sein d’une même action, x et a ne sont pas interchangeables : les os ne rongent pas les chiens. D’autre part, les « valeurs » de x et de a constituent respectivement un ensemble, car il n’est pas possible de leur affecter n’importe quelle valeur : les haut-parleurs ne dissocient pas les molécules, les catalyseurs ne dissocient pas les haut-parleurs. Cela signifie en premier lieu que x et a ont un rôle, une fonction qui leur est propre, qu’il est nécessaire de les distinguer même lorsqu’ils sont confondus, par exemple dans « je me lave ». En second lieu, à ces variables est alors attaché un domaine de définition : un ensemble d’éléments pourra remplir la fonction de x[14], un autre ensemble d’éléments (éventuellement identique) pourra remplir la fonction de a. Ce qui revient à dire que les domaines de définition de x et de a peuvent être représentés par des concepts. Considérons une action particulière, par exemple « se laver » ; « certains êtres vivants » se lavent : le caractère commun aux éléments représentés par x est qu’ils sont des « êtres vivants disposant de certaines caractéristiques » ; on a ici affaire à un concept relativement défini (certains découpe une partie non définie de l’ensemble E du concept « être vivant »). Dans l’ensemble des actions, le caractère commun aux éléments de x est qu’ils remplissent la fonction définie en ce que sans eux, la modification dans la réalité ne se produit pas : on les nomme des actants. Symétriquement, a est un objet (qui désigne ici la fonction) en ceci que c’est sur lui ou sur un élément qui lui est rattaché que va porter la modification[15]. De la même manière que précédemment, chaque action admet pour son ou ses objets un domaine de définition propre représentable par un concept.

4. Une représentation des concepts dans la chaîne linguistique et leur détermination

Il s’agit maintenant de considérer quels sont les éléments matériels de la réalité linguistique qui peuvent correspondre à la série de termes dont nous avons observé la construction. Certes, la définition de ceux-ci n’est pas achevée, mais, dans la présentation progressive que nous avons préférée à une organisation plus rigoureusement ordonnée, il est maintenant intéressant d’interpréter ces termes afin d’éclaircir plus facilement à quoi correspondent, à leur tour, les opérations binaires È et Ç qui autorisent la construction de termes nouveaux. Stricto sensu, cette interprétation est ici une opération de sémantique, au sens que lui donnent les logiciens[16]: nous effectuons bien ici une traduction du langage naturel en un langage formel. A la notion de prédicat, dont l’usage est courant en sémantique logique, correspond alors l’ensemble A^c du concept, et à la notion de fonction propositionnelle, un sous-ensemble des « expressions bien formées (cf. infrra chapitre III) » ou un groupe complexe déterminé[17].

Nous avons vu tout d’abord que l’objet concret est représenté dans le langage naturel par un substantif. En fait, c’est le concept, l’invariant du groupe, que représente ce substantif. Or l’utilisateur du langage désire souvent non pas travailler sur le concept lui-même, mais sur une partie, voire un des éléments de l’ensemble E du concept : il a donc besoin d’opérateurs particuliers - le nom consacré est celui de quantificateurs - qui déterminent le concept, c’est-à-dire permettent de savoir à quel(s) élément(s) de la réalité couverte par le concept on a affaire. Un certain nombre de ces opérations sont des opérations de partition sur l’ensemble E. Donnons en quelques exemples.

Le prépositionnement de l’article adéquat le ou la accordé au genre du substantif désigne par exemple, au sein le l’ensemble des éléments du concept, un élément unique physiquement présent pour tous les interlocuteurs : il me suffit de dire « l’ordinateur » pour que l’ensemble des gens présents dans la pièce comprennent qu’il s’agit bien de l’objet disposant des caractères spécifiques au concept, qui est près de nous. Comme cependant le peut être employé dans une configuration discursive qui permet une interprétation différente, on confirme souvent par un geste de désignation qui lève l’éventuelle ambiguïté. L’élément désigné est défini dans l’espace-temps par les coordonnées (x₀, y₀, z₀, t₀) elles-mêmes déterminées dans leurs ensembles respectifs.

Le prépositionnement de tous les accompagné des marques du pluriel désigne à l’inverse l’ensemble des éléments de E ou d’un ensemble fini préalablement déterminé, mis en oeuvre dans la situation de référence. Aucune coordonnée n’est alors définie.

Le prépositionnement de un détermine un élément a_i de l’ensemble E sans que celui-ci soit cependant défini dans la réalité : les coordonnées de a_i sont alors indéterminées (x₁, y_j, z_k, t_m).

Le prépositionnement de quelque a même fonction que le précédent, si nous faisons abstraction de considérations stylistiques qui ont trait à une couche de caractères communs propres à l’espace linguistique qu’il serait inopportun de traiter précocement ici. Celui de quelques, par contre, détermine un sous-ensemble lui même indéterminé (les coordonnées ne sont pas déterminées, comme dans le cas du quantificateur un) relativement petit par rapport à l’ensemble E ou à un ensemble fini préalablement déterminé.

Et ainsi de suite avec beaucoup de, peu de, maint, presque tous, un certain nombre de, etc.

L’action est elle aussi associée dans le langage naturel à un signe unique, le verbe, qui, comme le substantif, représente l’invariant du groupe. L’ensemble E du concept déplacer est constitué de toutes les actions particulières réelles ou imaginaires où un actant particulier déplace un objet particulier. Comme dans le cas précédent de l’objet concret, le problème du sujet est la détermination de l’action ou du groupe d’actions particulières qu’il désire représenter. Le langage naturel utilise pour cela une structure particulière, la proposition. Cet objet regroupe en lui-même d’une part le verbe représentatif du concept considéré, qui est déterminé en propre par la flexion correspondant à un mode, un temps, une personne suivant les règles édictées par la grammaire ; d’autre part éventuellement l’actant, s’il s’agit d’une représentation actancielle et non seulement événementielle : celui-ci est un concept également déterminé (substantif déterminé ou proposition, suivant les spécificités du domaine de définition) ; en troisième lieu, toujours optionnellement, le ou les objets eux aussi déterminés, de la même manière que l’actant. La détermination de l’action est donc assurée - en bonne logique pourrait-on dire - par la détermination de l’ensemble de ses composants. A cet ensemble peuvent être ajoutés des concepts spécialisés dans la définition spatio-temporelle de la proposition, ainsi que des liens spécifiques avec d’autres concepts, liens issus de la logique des propositions (cause, conséquences etc.). Bien évidemment, de même que l’objet concret peut supporter une détermination relative, l’action peut elle aussi être relativement déterminée.

5. Les opérations binaires Ç et È

Si nous revenons alors à notre exemple d’« étoile » : « point brillant, dans le ciel, la nuit, ROBERT, 1970 », nous constatons que « brillant » représente précisément une action relativement déterminée. En effet, « briller » est une action sans objet fonctionnellement défini. Cette classe d’actions admet pour objet implicite de la modification de la réalité qu’elle représente l’actant lui-même, dans sa structure. Comparez : « Jean fume une cigarette » et « Sorti du sauna, Jean fume ». « Brillant » représente donc, puisque l’actant n’est pas défini, l’ensemble des actions où, actuellement (par la marque flexionnelle spécifique du participe présent), « quelque chose » (appartenant au domaine de définition de l’action) brille.

Il résulte de ceci qu’il est parfaitement possible de considérer qu’une partie des objets couverts par « brillant » soient de « points », si ceux-ci appartiennent à l’ensemble E du concept représentant le domaine de définition de l’actant de « briller ». Sous cette réserve - le mécanisme permettant de contrôler cette appartenance est exposé au chapitre III « les expressions bien formées », l’opération Ç représente alors l’intersection de l’ensemble des points (ici, l’ensemble E du concept « point ») et l’ensemble des objets brillants (l’ensemble E du concept « brillant ») :

 

 

Dans le langage naturel, cette opération est représentée par la fonction épithète. Cette fonction consiste à associer à un concept déjà déterminé ou non un autre concept dont l’ensemble E, à l’instar de celui de « brillant » n’est précisément pas défini. Deux grandes classes d’objets grammaticaux remplissent notamment cette fonction dans le langage naturel : les adjectifs qualificatifs et les propositions relatives. On remarquera le rôle déterminatif de cette opération, qui conduit le langage naturel à l’associer fréquemment aux articles grammaticaux assurant cette fonction :

« l’homme qui marche dans la rue »

« les grandes terres vierges »    (double opération)

Ceci nous amène donc à considérer le sens large que nous attribuons au concept. Celui-ci résulte de ce que nous préférons, à une définition réifiée, jusqu’ici liée à la chose en soi, une définition fonctionnelle du concept, ce à quoi nous oblige sa nature de structure mathématique. « [les] grandes terres vierges » constitue un concept en ceci que cet ensemble de signes répond aux axiomes de la structure de groupe aussi fidèlement que notre « étoile » initiale, « [l’] homme qui marche dans la rue » y répondant également. C’est en fait la gestion des signes, qui est l’affaire du groupe des utilisateurs de la langue, qui va déterminer si tel concept complexe est érigé en concept au sens courant, c’est-à-dire représenté par un signe unique ou non. Ainsi le « couvert » désigne-t-il les ustensiles de table à l’usage de chaque convive seulement depuis le début du XVIIème siècle. Ainsi à rebours utilise-t-on aujourd’hui, dans les reconstitutions historiques du cinéma, des chevaux que l’on équipera pour la bataille, et non plus des « destriers ».

Ceci nous permet alors d’aborder directement la seconde opération binaire génératrice de concept : l’opération È. Si nous explorons ce que nous avons implicitement admis, à savoir que nous avons affecté à l’opération Ç la même structure que celle qu’elle a dans la logique des classes, que nous avons appelée intersection, alors nous affecterons à l’opération È la structure correspondant à la réunion. Cette opération constitue en un ensemble unique les ensembles E ou les sous-ensembles de E découpés par la détermination de chaque concept. Elle est représentée notamment dans le langage naturel par l’emploi du coordonnant et ainsi que par celui du coordonnant ou, lorsque celui-ci n’a pas le sens du ou exclusif (qui exclut la partie commune à deux ensembles non disjoints) :

« les femmes et les enfants d’abord »

« dans une boutique X, les hommes ou les femmes sont admis mais pas les enfants ».

 

 

On remarquera que les éléments déterminés par l’opération È constituent à leur tour des éléments structurés par le groupe : à ce titre, ils sont des concepts.

6. La représentation de la complémentation

Il nous reste à étudier une dernière opération constitutive de concept : la complémentation. Dans la logique des classes, celle-ci est définie de la manière suivante :

« Si ‘a’ et ‘b’ sont [deux classes données], nous appellerons complémentaire de ‘b’ relativement à ‘a’ et nous noterons ‘a - b’ la classe constituée par les éléments de ‘a’ qui n’appartient pas à ‘b’[18] ». L’ensemble E d’un concept (ou un sous-ensemble découpé par opération de détermination) correspondant alors à ce qu’on appelle univers du discours noté U, on notera alors ‘`a ’ pour ‘U - a’. Cette opération est représentée dans la langage naturel par l’opérateur sauf :

 

 

« les hommes et les femmes sauf ceux dont l’âge est inférieur à dix-huit ans peuvent voter ».

La définition suivante établira donc cette opération :

T6     Si A est un terme, `A est un terme.

***

Conclusion

Nous en avons maintenant terminé avec la définition des termes. Il en résulte une conception inhabituelle du concept. Certes, une tradition quasi millénaire puisqu’elle remonte à ARISTOTE réserve à l’ensemble E du groupe linguistique, et à l’invariant qui en caractérise les éléments, cette appellation. C’est la longue élaboration de l’étude du langage fondée sur les structures de ses éléments immédiatement visibles, c’est-à-dire la grammaire, qui a entériné cette analyse du concept. Il en résulte que les opérations analysées dans la grammaire des langues ne sont pas fonctionnellement rattachées au concept. La détermination, par exemple, y est considérée comme une opération sur des êtres grammaticaux regroupés en espèces, tels les substantifs, les adjectifs etc. Le corollaire de cette analyse est que tout ce qui a trait au concept a été traité séparément par des disciplines non essentiellement centrées sur le langage, la philosophie, et plus récemment la sémiotique. Et la triade aristotélicienne, [signe, concept, référent], en tant que « structure » sépare en réalité les éléments au lieu de les intégrer, puisqu’elle n’établit pas de relation(s) entre ces éléments - elle ne fait qu’en constater l’existence sans les expliciter. La réintégration du concept dans l’univers linguistique n’a pas pour conséquence de bouleverser l’étude des formes du langage réalisée jusqu’ici. Au contraire, d’une part elle s’appuie sur elle, et d’autre part dans la mesure où la formalisation qu’elle induit révèle la profonde unité du langage mise en évidence par les structures qui le sous-tendent, elle devient grâce aux objets formels qu’elle construit un guide précieux lorsque l’analyse syntaxique s’enfonce profondément dans les couches sémantiques du langage (cf. par exemple la multiplicité des sens attribuables à la détermination d’un substantif par un substantif, et la très difficile analyse qui s’ensuit). Du reste, à refuser de considérer le concept sous cet angle nouveau, on s’oblige alors à manipuler des groupes linguistiques, des groupes perceptifs qu’il faudra bien, eu égard à leur spécificité en langue, à la fois spécialiser par rapport à leur emploi en mathématiques, et rattacher à des objets interdisciplinaires - signe, concept, référent, pour revenir à eux - avec tous les risques de confusion que cela comporte. Mais cela ressort d’une décision qui, comme toujours en langue, appartient au consensus. Il nous reste à clore les définitions des termes de notre système formel :

T7     Rien n’est un terme, sinon par ce qui précède