Le système logico-conceptuel :

III. Les expressions bien  formées (abrégé : ebf)

 

Introduction

 

          Les expressions bien formées d’un système formel (ebf) sont une classe d’expressions résultant de la combinaison des termes précédemment définis. Ces ebf respectent un certain nombre de règles de constructions, qui permettent précisément de déterminer si une combinaison donnée de termes est une ebf ou non. Dans le cas du langage naturel, une ebf est la plupart du temps une proposition. Nous nous sommes aperçu, dans la discussion relative à la définition des termes, que certaines propositions  heurtaient le sens commun : tel était le cas de « les os rongent les chiens ». C’est que cette proposition n’est pas une ebf, mais simplement une juxtaposition de termes qui ne représente rien dans la réalité, ni même dans l’imaginaire si l’on garde à chaque concept sa structure propre : elle est alors une collection de signes qui appartiennent certes séparément au langage naturel, mais elle ne lui appartient pas en propre. Les éléments qui la composent ne sont pas reliés, ils ne constituent pas un ensemble structuré par les règles de construction des ebf. C’est l’étude de ces règles que nous abordons maintenant.

          Reprenons et complétons le texte de Seymour PAPERT que nous avons cité en note 4 du premier chapitre : « Soit E un ensemble d’éléments avec une structure de groupe définie par l’opération o, et E’ un sous-ensemble de E. On dit que celui-ci est un sous-groupe de celui-là s’il est fermé par rapport à l’opération o et par rapport à l’opération inverse. Par exemple, le groupe additif des nombres rationnels est un sous-groupe du groupe additif des nombres réels, parce que, si x et y sont rationnels, -x et x + y le sont également. Cette relation [celle du sous-groupe avec le groupe] définit sur un ensemble de sous-groupes d’un groupe donné une structure d’ordre et même de lattice.[...] Elle nous fournit [...] un premier exemple de « système de systèmes[1] ».»

          Nous l’avions alors cité pour illustrer que les éléments du groupe perceptif des « géantes rouges » étaient un sous-ensemble de celui des « étoiles » qui étaient elles-mêmes un sous-ensemble du groupe perceptif des « objets » célestes, l’opération de référence étant alors l’opération d’ « observation ». Or il ne s’agit pas d’une organisation isolée, mais d’une structuration qui concerne tous les concepts, dont le dictionnaire rend compte dans sa présentation linguistique des groupes : un « chien » y est un animal de l’espèce des canidés : les chiens constituent donc un sous-ensemble de l’ensemble des canidés, lui-même sous-ensemble des animaux. L’« animal » y est un être vivant organisé, doué de sensibilité et de motilité, hétérotrophe : les animaux constituent alors un sous-ensemble des êtres vivants, etc. Mais l’animal est aussi  une personne grossière, stupide, brutale. Est-ce-à-dire que le chien lui aussi est une personne grossière ? Non, puisqu’un « chien » n’est pas une « personne », qui désigne un individu de l’espèce humaine. On voit donc apparaître un ensemble d’ordres :

[géantes rouges < étoiles < objets célestes]

[chien < canidé < animal₁ < être vivant]

[animal₂ < être humain < être vivant]

qui relient les concepts les uns aux autres, mais suivant une organisation qui dépasse l’ordre simple ou total pour constituer un réseau. Or réseau, lattice, treillis, ces trois signes désignent la même structure mathématique évoquée par Seymour PAPERT. Il nous faut donc vérifier si, conformément à la théorie des groupes, par rapport à l’opération d’observation dans leur aspect perceptif, et par rapport à celle de la conceptualisation dans leur aspect linguistique, les groupes que constituent les concepts sont bien ordonnés par la structure de treillis.

 

Le treillis booléen

 

          Sous le nom de lattice, réseau ou treillis (le mot treillis tend à remplacer le mot lattice), on entend un quadruple {E, È, Ç, £}, où E est un ensemble non vide, ‘È’ et ‘Ç’ deux opérations binaires qui, appliquées à des éléments de E redonnent un élément de E et ‘£’ une relation d'ordre partiel.  De plus, on a pour tout a, b, c appartenant à E les propriétés suivantes :

 

(L’₁)  a £ a È b

(L’₂)  b £ a È b

(L’₃)  a £ c  et b £ c  implique que  a È b £ c

 

(L’’₁) a Ç b £ a

(L’’₂) a Ç b £ b

(L’’₃) c £ a  et c £ b  implique que  c £ a Ç b

 

Si on rajoute toutefois les axiomes suivants, qui posent respectivement que la lattice est distributive, qu’elle contient un élément maximum et un élément minimum et qu’elle est complémentée, on aura affaire à une lattice de boole.

 

(L’₄)  a Ç (b È c) £ (a Ç b) È (a Ç c)

(L’’₄) (a È b) Ç (a È c) £ a È (b Ç c)

 

(L’₅)  il existe un élément i de E, tel que pour tout a : a £ i

(L’’₅) il existe un élément o de E, tel que pour tout a : o £ a

 

Pour tout a, il existe un élément `a de E tel que :

(L’₆)  i £ a È`a

(L’’₆) a Ç `a £ o[2] »

 

          Un certain nombre de signes nous sont déjà connus : l’ensemble E est ici constitué non plus d’éléments quelconques images de la réalité, mais des groupes que sont les concepts ; nous avons d’autre part déjà rencontré les opérations binaires È et Ç, respectivement  réunion et  intersection des éléments de l’ensemble E du concept: il va falloir les reconsidérer, et voir si cette interprétation est nécessaire, suffisante, ou inadéquate. Quant à la relation d’ordre partiel £, c’est un élément nouveau, dont l’interprétation va dépendre de la forme des concepts que le treillis va ordonner. En effet, l’étude de l’organisation des concepts en treillis est duale. D’une part, le treillis ordonne des concepts en forme normale ; dans ce cas, la relation £ est exprimée dans le langage naturel sous la forme d’une proposition ontologique, c’est-à-dire qui relie deux concepts par l’intermédiaire du verbe être, et où la détermination est alors effectuée de telle manière que le concept à gauche est un sous-groupe[3] du concept à droite :

« Un chat est un animal »

« Les étoiles sont des points brillants dans le ciel nocturne »

« Souffler n’est pas jouer »

«  le fait que je ne fume plus est une bonne chose »

« je ne fume plus, et c’est une bonne chose »

« tu ne fumes plus, voilà qui est un bien »

mais non pas :« l’eau est bleue[4] », qui est représenté, on l’a vu au chapitre précédent, par l’intersection de deux concepts. La forme normale du concept est donc obtenue lorsque nous considérons soit l’ensemble E d’un concept déterminé, soit un sous-ensemble de E, c’est-à-dire que nous le considérons du point de vue extensif. C’est le cas des concepts représentés par un substantif  déterminé[5] : « un chat » est un élément de l’ensemble E du concept de chat, « les étoiles » est l’ensemble E du concept étoile ; « des points brillants » et « une bonne chose », qui sont des sous-ensembles de l’intersection de l’extension de deux concepts constituant un concept complexe, sont par là même en forme normale ; c’est le cas des concepts représentés par un verbe non déterminé : dans notre exemple, « souffler » est l’ensemble E constitué de toutes les actions où quelqu’un « souffle » au jeu de dames. Par contre, c’est la considération de « je ne fume plus » comme un fait particulier appartenant à l’ensemble E des faits, réalisée ici par l’antéposition de « le fait que », qui constitue la forme normale de ce concept complexe (il est par là a priori considéré comme réel). En effet, « je ne fume plus » non associé à « le fait que » ou à une expression à fonction similaire est une proposition dont il convient qu’on apprécie si elle est vraie ou fausse :

« je ne fume plus »

« j’ai dit que je ne fumais plus »

« je ne fume plus, c’est décidé »

Dans les exemples ci-dessus en effet, le concept que représente la proposition n’est plus objectivé, c’est-à-dire n’est plus considéré comme un événement, mais dans sa dimension existentielle : est-ce vrai, faux, nécessaire, possible, souhaitable ? On dira alors que le concept est en forme développée, qui exprime la structure ou les relations interconceptuelles du concept complexe, dont il convient qu’on détermine la réalité, l’opportunité, la faisabilité, le bien-fondé etc., ces relations étant ici le résultat de la conceptualisation et non l’expression du treillis comme c’est le cas de la proposition ontologique. Dans ce cas, à la relation £ du treillis correspond une relation du langage naturel, la relation conditionnelle « si...alors » et ses équivalents, qui permet d’établir la vérité d’une proposition, et à partir de laquelle toutes les autres relations interpropositionnelles du langage naturel (cause, conséquence, concession, possibilité, nécessité, souhait etc.) peuvent être définies (cf. infra IIème partie).

          Il résulte de ces considérations que nous sommes amené à scinder l’étude de la structure latticielle des concepts en deux parties : l’une étudiera cette structure où la relation £ construit une proposition ontologique, l’autre étudiera le treillis muni de la relation « si... alors » qui construit une relation interpropositionnelle.

 

I. Le treillis booléen des concepts en forme normale

 

          Le treillis est lui-même une structure duale. Il est lui-même composé de deux semi-treillis juxtaposés : d’une part le sup-demi-treillis dont les éléments respectent les axiomes L’₁ à L’₃ du treillis booléen, d’autre part l’inf‑demi-treillis dont les éléments respectent les axiomes L’’₁ à L’’₃.

 

1. Le sup-demi-treillis

 

          Considérons la proposition ontologique « les caniches sont des chiens ». Si nous traduisons terme à terme cette proposition dans l’axiome L’₁ du  treillis, nous obtenons les correspondances suivantes :

 

à        a            correspond      « caniche »      déterminé par les

à        £            correspond      « être »            fléchi en sont

à        a È b     correspond      « chien »          déterminé par des

 

Si nous représentons alors cette proposition en diagramme de Venn :

 

où (a È  b) représente l’ensemble extensif des chiens, a celui des caniches, nous pouvons alors écrire que, en logique des classes, b représente le complément de a relativement à l’ensemble formé par la réunion de a et b On a donc :

 

(a È b) - a = b

Si l’on pose alors :

(a È b) = U

on a alors :

b = `a

 

Or l’opération de complémentation est exprimée dans le langage naturel par le concept  de « reste » : « ce qui reste d’un tout, d’un ensemble (matériel ou non), dont une ou plusieurs parties ont été retranchées effectivement ou théoriquement » (ROBERT, 1970). On peut donc écrire en langage naturel, en déterminant ce concept, que b est « le reste des chiens », « par rapport aux (lorsqu’on retranche les)  caniches » étant alors implicite, ce qu’on peut encore exprimer, en utilisant cette fois structurellement cette implicitation, en parlant des « autres chiens (que les caniches) ». Ayant traduit l’ensemble des symboles des axiomes du sup-demi-treillis, nous pouvons alors construire la représentation suivante :

T₁

 

Si maintenant nous désirons représenter que « les chiens,  les chats, les grenouilles sont des animaux » nous procéderons de la sorte :

 

T₂

 

Si nous ajoutons maintenant que les caniches sont des chiens :

 

T₃

puis que les chiens sont des canidés :

T₄

Sur ces représentations graphiques, la structure en sup-demi-treillis est caractérisée par le fait que chaque couple d’éléments (a, b) admet un élément majorant (a È b). Si nous revenons alors à sa définition axiomatique, dans la cellule T₁, par exemple, qui fait partie de T₃ et T₄, les deux premiers axiomes sont vérifiés :

« les caniches sont des chiens »                      a £ a È b        (L’₁)

« les autres chiens sont des chiens »                b £ a È b        (L’₂)

Et dans T₃, T₄, le troisième axiome est explicite, avec par exemple en T₄ :

 

les caniches sont des canidés               ü

et                                                        ý Þ tous les chiens sont des canidés

les autres chiens sont des canidés        þ

 

 qui respecte en effet :

 

a £ c  ü

et         ý Þ  a È b £ c           (L’₃)

b £ c    þ         

 

          On remarquera que cette structure en sup-demi-treillis concerne aussi bien les concepts composites que les concepts homogènes. Dans les exemples que nous avons fournis - chats, chiens, etc. - les ensembles compréhensifs sont entièrement caractéristiques des concepts, qui sont donc homogènes. Certes, on peut toujours discuter la composition de ces ensembles dans l’aspect linguistique du concept, qui dépend du niveau de connaissance que l’on considère : pour reprendre notre exemple d’étoile, on peut en dire que c’est « un point brillant dans le ciel, la nuit ». Mais un astrophysicien dira plus probablement que c’est un objet à structure en pelure d’oignon, dont les différentes couches sont le lieu de transmutations nucléaires définies et caractéristiques de la couche. L’aspect perceptif du concept sera lui aussi fonction des instruments d’observation utilisés : l’oeil nu fournira une image ponctuelle, alors que l’observation au télescope du soleil, par exemple, mettra en évidence une couronne et des projections matérielles extérieures, etc. Ces différentes opérations sur l’ensemble compréhensif du concept produites par le sujet se traduiront alors par autant de structures particulières en sup-demi-treillis appartenant au treillis du système logico-conceptuel ; mais dans tous les cas, l’ « étoile », comme nos chats et nos chiens, reste un concept entièrement défini par son ensemble compréhensif (qui peut donc être de circonstance), c’est-à-dire que les objets de son ensemble extensif n’ont pas dans le discours actuel de caractéristiques autres que celles que le sujet lui affecte.

          Il peut en aller de même pour les concepts composites, mais ceux-ci font alors l’objet d’une opération du sujet qui les envisage alors sous un aspect homogène. Lorsque je dis par exemple que « le vert de ce tableau de Cézanne est un vert-bleu, alors que celui de cet autre tableau de Van Gogh est un vert à dominante jaune », je ne considère plus l’ensemble extensif du concept « vert » comme l’ensemble de tous les objets comportant partiellement cette caractéristique, mais comme l’ensemble de tous les verts possibles, chacun étant alors doté d’un dominante particulière : j’ai abstrait ces objets pour ne constituer l’ensemble que d’éléments dotés de la caractéristique « vert », qui sont donc des « vert »,  dont je peux alors définir les variations, représentables par une ou plusieurs caractéristiques particulières (bien sûr, l’opération d’abstraction ne fait pas disparaître les objets-supports du concept initial, toujours nécessaires à sa perception et à sa considération). Il en résulte que l’abstraction des caractéristiques des éléments de l’ensemble extensif du concept « vert » rend alors celui-ci homogène, structuré de la même manière que notre concept d’ « étoile ».

 

2. L’inf-demi-treillis

 

          Considérons maintenant les propositions « les chiens sont de bons gardiens » d’une part, et, compte tenu des qualités de certains d’entr’eux, les chiens de troupeau, par exemple, « les chiens de troupeau sont des auxiliaires précieux » en ceci qu’ils aident à la conduite du troupeau, d’autre part. Il en ressort que les chiens de troupeau sont à la fois de bons gardiens puisqu’ils sont un sous-ensemble de l’ensemble des chiens, et des auxiliaires précieux : en eux sont réunies les caractéristiques des deux concepts à droite des propositions ontologiques. Si nous restons fidèles à notre mode de représentation des propositions ontologiques, nous pouvons alors représenter la proposition ontologique complexe « les chiens de troupeau sont de bons gardiens et des auxiliaires précieux » par le graphique suivant :

T₅

 

 

Si nous utilisons maintenant la représentation en diagrammes de Venn :

 

 

 

Diagrammes et proposition ontologique complexe représentent alors la même opération du treillis : l’intersection. Les axiomes L’’₁, L’’₂, et L’’₃ sont vérifiés :

Soit  a représentant le concept auxiliaires précieux

Soit  b représentant le concept  bons gardiens

Soit  c représentant le concept chiens de troupeau

a Ç b £ a        « les auxiliaires précieux - bons gardiens sont des auxiliaires précieux »

a Ç b £ b        « les auxiliaires précieux - bons gardiens sont des bons gardiens »

 

c £ a  ü

            ý Þ     c £ a Ç b

c £ b    þ

 

« les chiens de troupeau sont des auxiliaires précieux »

« les chiens de troupeau sont de bons gardiens »

implique que

« les chiens de troupeau sont des auxiliaires précieux-bons gardiens »,

 

ce que le français exprime préférentiellement par notre proposition ontologique complexe initiale :

« les chiens de troupeau sont de bons gardiens et des auxiliaires précieux ».

 

La multi-hypéronymie est alors représentée dans le treillis de la manière inverse de celle de la multi-hyponymie :

 

T₆

 

On exprime encore la structure en inf-demi-treillis en disant que chaque couple d’éléments (a,b) admet un élément minorant (a Ç b).

          Dans l’exemple que nous avons choisi, les hypéronymes respectivement second et troisième que nous avons choisis pour nos chiens de troupeau - dont l’hypéronyme premier est chien - sont des concepts composites. C’est essentiellement, en premier lieu, l’existence de ce type de concept qui permet d’affecter à un concept plusieurs hypéronymes qui ne soient pas simplement distribués dans un ordre total (comme {chien, animal, être vivant}), lequel conférerait au treillis logico-conceptuel la structure particulière d’arbre. Toute proposition relative qui détermine un concept peut générer un hypéronyme de ce type : un « homme qui déambule dans la rue » peut être considéré comme un « passant ». Dans ce cas, « homme » admet pour hypéronyme le concept de « passant ». « Matisse est un peintre génial ». « Matisse », concept déterminé de manière absolue puisqu’il s’agit d’un élément nommé, étant un « homme qui peint avec génie », a pour hypéronyme peintre génial, et donc peintre, ce qui n’est pas le cas de tous les hommes : c’est ici la vérité de la proposition exprimant la caractéristique du peintre appliquée à Matisse qui nous permet de la lui affecter. « Matisse » est aussi un « Français », etc.

          Nous avons cependant vu, dans le cas du sup-demi-treillis, que  « étoile » admet pour hypéronyme « point », qui est particularisé dans la proposition ontologique, et « objet », qui l’est également. Dans sa phase générative, elle est également un « nuage » de particules qui se contactent et s’échauffent. Cette multi-hypéronymie est réalisée dans le treillis par affectation de connaissance. Elle est un « point brillant » pour tous les hommes depuis que ceux-ci observent le ciel, et disposent du concept de « point ». Elle est un « nuage » de particules depuis que les hommes disposent de radiotélescopes et d’un théorie physique de la matière relativement élaborée. Elle est un « objet » concret depuis qu’on sait ce qu’est une « structure objectale ». Elle est un « objet » abstrait depuis qu’on a une certaine idée de ce que sont les concepts. Ce schéma de formation des hypéronymes est donc distinct du précédent en ceci qu’il ne résulte pas simplement directement de l’application mécanique des règles du treillis sur un stock de concepts donné, mais également de la formation de concepts ad hoc issus d’un domaine particulier de la connaissance.

 

3. Les caractéristiques du treillis

 

          Cette organisation du langage peut sembler tout d’abord artificielle dans la mesure où elle génère toute une série de concepts innomés et inutilisés, des pseudo-concepts pourrait-on dire - les autres bons gardiens, les autres auxiliaires précieux etc. - qui ne semblent créés que pour valider cette structure. Ce point de vue ne peut cependant qu’être la conséquence d’une volonté a priori de concevoir l’ensemble des concepts uniquement comme l’ensemble stable des objets soumis à la nominalisation à partir duquel se construit et se déploie grammaticalement le langage naturel. Mais, nous l’avons vu déjà dans notre présentation des termes, ce serait prendre la partie pour le tout.

          D’autre part, on ne saurait concevoir une évolution de la connaissance sans l’évolution consécutive du stock conceptuel, et c’est cette variabilité conjoncturelle du treillis réglementant les ebf qui traduit celle-ci, tout en considérant que la connaissance, créatrice des concepts, encadre cette évolution[6]. C’est alors la stabilité relative mais réelle du treillis, sa stabilité structurelle, qui permet de garantir à rebours la validité des expressions linguistiques complexes que sont les groupes résultant de l’opération Ç, à savoir les groupes nominaux résultant de l’assemblage de concepts homogènes et de concepts composites, et les propositions : elle garantit la compréhensivité du langage naturel, c’est-à-dire que l’interlocuteur sache de quoi parle le locuteur. C’est l’étude de ces deux actions antagonistes puisqu’à la fois centripète et centrifuge, mais complémentaires, qu’assure le treillis, que nous allons maintenant aborder.

 

a. La variabilité conjoncturelle du treillis

 

          Il est aisé d’illustrer la variabilité du treillis. Si le treillis T₅ peut être déduit du treillis T₆ qui contient l’ordre total {chiens de troupeau £ chiens £ bons gardiens}, il ne représente pas par exemple l’idée que les chiens de troupeau sont des auxiliaires précieux  parce que ce sont de bons gardiens, (c’est-à-dire du fait que « les bons gardiens sont des auxiliaires précieux »), outre leurs qualités spécifiques. Cette idée est pourtant parfaitement admissible, et dans une situation donnée peut parfaitement être verbalisée. Le treillis doit alors être modifié en T’₅ :

 

T’₅

 

         

 

Mais dans ce dernier cas, on exprime en plus que les chiens en général sont des auxiliaires précieux, ce qui n’était pas le cas antérieurement. Il en résulte donc que notre discours ne met en oeuvre, suivant les situations auxquelles il se rapporte, que des aspects, c’est-à-dire des sous-ensembles d’un treillis infiniment complexe constitué de toutes les relations potentielles autorisées par une loi de combinaison unique.

          Cette variabilité est en premier lieu liée à des considérations structurelles. Nous avons en effet rencontré  deux classes particulières de concepts : les groupes homogènes et les groupes composites. C’est cette dernière classe qui confère ici au treillis sa variabilité. Tel chien, par ses qualités intrinsèques, sera un excellent gardien. Tel autre n’en sera qu’un piètre, un troisième ne le sera pas du tout. L’ensemble des chiens en général sont de bons gardiens. Telle personne, par ses qualités professionnelles dans la sécurité, est un bon gardien. Telle autre, pour des raisons inverses, ne l’est pas. Le Sénat est le gardien de la constitution. C’est que le concept de gardien est composite : défini comme « celui qui garde, qui défend, qui protège (ROBERT, 1970) », son ensemble extensif est un sous-ensemble du domaine de définition commun aux trois verbes qui le définissent, dont les éléments sont les actants des propositions ainsi générées lorsque celle-ci sont vraies : la proposition ontologique est donc ici constructible en raison de la nature composite du concept à droite, et effectivement construite pour des raisons conjoncturelles, c’est-à-dire issues d’une situation particulière. C’est donc bien la structure de cette proposition qui conditionne ici la variabilité du treillis.

          Cette variabilité est en second lieu liée à des considérations conjoncturelles en ce qu’elle suit, dans la création de concepts et dans leur combinaison permise, l’évolution de la connaissance. Les treillis T₃ et T₄, par exemple, diffèrent par l’introduction du concept de canidé. Ce concept est relativement récent puisqu’il résulte de l’activité de classification entreprise par LINNE. Comme nous l’avons vu plus haut, le concept « étoile » admet une série d’hypéronymes variable suivant l’évolution des connaissances et les caractéristiques culturelles du groupe humain qui le manipule. Ceci illustre donc que l’évolution de la connaissance est susceptible, par la création des concepts qui l’accompagne, de modifier le treillis.

 

b. La stabilité structurelle du treillis

 

          Le treillis, nonobstant ces variations conjoncturelles, remplit sa fonction validatrice des combinaisons de concepts parce que la relation fondamentale qui régit les relations latticielles peut être exprimée en fonction des ensembles compréhensifs des concepts. En effet, si les axiomes du treillis, dans sa dimension abstraite, établissent les règles de fonctionnement de l’ordre qui régit les concepts en hiérarchisant leurs ensembles extensifs, et donc déterminant leurs combinaisons possibles, c’est la relation entre leurs ensembles compréhensifs qui réalise cet ordre : on a affaire ici à un système à double autorisation. Nous avons aperçu ce fonctionnement de la structure lorsque nous avons abordé la structure de sup-demi-treillis : nous y avions vu que les caniches étaient des chiens par le fait que leur ensemble extensif était inclus dans celui des chiens. Examinons formellement cette relation. Soient deux concepts A et B. Ces deux concepts seront ordonnés dans le treillis si et seulement si leurs ensembles compréhensifs sont dans un rapport d’inclusion :

(B^c Í A^c ) £ (A £ B)

(A £ B) £ (B^c Í A^c )

(lire : si B^c est inclus dans A^c , alors A est un B,

          si A est un B, alors B^c est inclus dans A^c)

On dira par exemple qu’un ordinateur (A) est une machine électronique (B) si et seulement si ce concept contient dans son ensemble compréhensif (A^c)  les éléments caractéristiques qui appartiennent à celui du concept de machine électronique (B^c). Cette relation entraîne alors deux conséquences importantes. D’une part, par l’introduction de l’inclusion, la liaison est effectuée entre le treillis des concepts en forme normale et la logique des classes[7]. D’autre part, n’importe quel concept n’est plus alors relié à n’importe quel autre. 

          Il est alors, et alors seulement, possible de construire des concepts complexes, tels les propositions, dans lesquelles l’actant doit être relié par une relation ontologique au concept représentant le domaine de définition de cette fonction dans une action particulière : soit le concept d’action « manger ». Si le représentant du domaine de définition de l’actant est « être vivant », « Jacques mange » est alors une proposition valide si « Jacques est un être vivant » est lui-même une proposition valide, c’est-à-dire en fin de compte si « Jacques » admet dans l’ensemble compréhensif qui lui est associé l’ensemble compréhensif de « être vivant ». Il en va de même pour la ou les fonctions objet. Précisons que si la proposition « Jacques est un être vivant » est valable, ebf du langage naturel, on dit alors qu’elle est vraie. Mais sa « vérité » n’est pas de même nature que celle des propositions non ontologiques : les règles d’établissement de la vérité des événements et des actions font l’objet d’une seconde interprétation du treillis booléen.

          C’est par un processus semblable que les opérations d’intersection créant des concepts complexes tel « point brillant » seront validés comme ebf. « brillant » a été analysé comme action présente dont l’actant, bien que non déterminé, est muni d’un domaine de définition défini par un concept, ici « objet » (n’importe quel objet peut briller s’il émet directement ou par réflexion assez de lumière). Un point (matériel), par le fait qu’« il est un objet » peut donc briller : le concept de « point brillant » est alors une ebf. Par contre un « point imbuvable[8] » n’en est pas une : il est rejeté dans le discours incohérent.

          Il en résulte que les variations conjoncturelles du treillis pourront être construites grâce à la relation fondamentale qui va permettre la combinaison des concepts appropriés à la situation. Ainsi un chien peut-il être suivant les cas un fidèle compagnon, un fauve dangereux, un voleur de saucisses etc., et donc muni d’autant d’hypéronymes de circonstance. Au sein de cette création associative permanente de concepts, personne ne songera cependant à dire qu’ « un chien est un plat de lentilles » : c’est simplement que dans cette proposition ontologique, la relation (B^c Í A^c ) n’est pas respectée. L’ensemble compréhensif du plat de lentilles ne se retrouve pas dans celui du chien. Par contre, un fauve étant un  « grand animal féroce », le chien qui sera grand et féroce (dans telle situation) sera alors représenté par le concept dont l’ensemble compréhensif comportera - provisoirement - l’ensemble compréhensif du fauve : la proposition ontologique « ce chien est un fauve dangereux » est alors doublement vraie : d’une part, l’expérience visuelle du comportement du chien a été vérifiée,  d’autre part sa structure ontologique lui assigne cette valeur en tant qu’elle est une ebf. On notera alors que l’utilisateur du langage naturel s’arroge parfois le droit de réaliser une relation (B^c Í A^c ) imparfaite : lorsque par exemple, on dit « ce type est un fauve », on construit une ebf sous réserve de modifier l’ensemble compréhensif de l’homme. L’homme que représente ici le « type » n’est pas, hors du langage spécialisé des sciences naturelles, un animal comme le fauve : le sens courant de « homme » l’en distingue, précisément. C’est pourtant l’ensemble compréhensif de « animal » qui remplace celui de « homme » - auquel on a donc ôté son humanité -  dans l’esprit du locuteur, et les éléments féroce et dans une moindre mesure grand, qui sont ici retenus, pour considérer fauve comme un hypéronyme pertinent[9].

          Cette dérive par rapport aux règles, dont le terme ultime est l’image, ajoute encore à la complexité du treillis réel des concepts en forme normale. Ceci nous amène à considérer que celui-ci n’est pas un outil pratique de représentation de connaissances. Certes, le dictionnaire qui en représente une bonne partie, celle des relations courantes du treillis pour un groupe humain donné à une époque donnée, peut être considéré comme un outil de stockage de connaissances (limité). Mais il s’agit plutôt d’un système pratique de connaissances minimales qui nous aide entrer dans des domaines qui ne nous sont pas familiers, et donc qui permet soit d’initialiser un processus de compréhension qu’il nous faudra développer, soit de poursuivre un processus de compréhension en cours que la méconnaissance d’un terme avait alors bloqué. On notera du reste que pour le sens d’un mot, il y a autant de définitions que de dictionnaires. Ce qu’il faut donc essentiellement retenir, c’est le principe du treillis : la fonction fondamentale du treillis est d’abord et avant tout d’être la règle de construction des délicats montages de concepts qui valident les chaînes linguistiques en fonction d’un état de la connaissance.

 

II. Le treillis booléen des concepts en forme développée

 

          Les concepts en forme développée, comme on l'a vu précédemment, sont des concepts complexes. Ceux-ci sont soit des combinaisons de termes simples reliés par les opérations d'intersection ou de réunion, soit des couples d'états de la réalité, éventuellement associés respectivement à un couple d’éléments d'une échelle de temps, qui représentent les événements, les états, les actions de la réalité, et dont l’objet syntaxique correspondant est la proposition autre qu’ontologique. Quelle que soit leur nature, ces concepts complexes peuvent donc être considérés du point de vue de leur structure. En ce cas, le sujet considère d'une part les différents concepts construisant le concept complexe, d’autre part les relations les reliant entre eux. Lorsque je considère par exemple, de ce point de vue, qu’ « une mustang traverse le passage à niveau », je réalise instantanément un certain nombre d'opérations :

- je découpe dans la réalité visuelle un certain nombre d’objets - ce sont les groupes perceptifs - et leur fais correspondre les concepts linguistiques adéquats correctement déterminés : une  mustang, le passage-à-niveau,

- ayant déterminé une succession d'états des relations entre ces objets dans le continu de la réalité, je leur fais correspondre le concept complexe adéquat intégrant dans ses domaines de définition les objets préalablement analysés : traverser

- je construis la phrase selon les règles de la syntaxe et j'énonce[10].

          L'ensemble de ces opérations aboutit donc à une représentation linguistique de la réalité. Celle-ci peut alors avoir deux statuts. D'une part, si le concept complexe est une ebf, et si les groupes perceptifs et les groupes linguistiques se correspondent dans une relation biunivoque (si les concepts simples sont également dans ce rapport), alors la représentation linguistique de la réalité est déclarée vraie. Si par contre l'une de ces conditions n'est pas remplie - et le locuteur peut alors avoir à en faire la démonstration, on verra dans la suite du chapitre et la section suivante par quels moyens -, alors la représentation de la réalité est déclarée fausse, ou dénuée de signification lorsque le concept complexe n’est pas une ebf. On voit donc que, du point de vue sémantique que nous adoptons, la vérité, en dernière analyse, est purement une affaire de règles puisqu’elle résulte initialement de l’utilisation correcte d’une application mathématique (la correspondance biunivoque) entre un ensemble de groupes pris deux à deux et représentant la même réalité[11]; les stades ultérieurs de l’élaboration de la représentation linguistique consistent ensuite à construire le concept complexe au moyen des ebf autorisées par le treillis des concepts en forme normale vu plus haut, puis à élaborer l’énonciation résultant enfin des ebf du système grammatical caractéristique de la langue utilisée.

          Le problème qui se pose au locuteur qui désire construire une représentation linguistique complexe de la réalité est alors de pouvoir transférer la valeur vrai d'une proposition donnée à une autre proposition à construire : c’est le transfert de cette valeur que va réglementer le treillis des concepts en forme développée.

 

1. Les opérations Ç et È dans le treillis des concepts en forme développée.

 

          Il nous faut en premier lieu réinterpréter les deux opérations binaires È et Ç que nous avions rencontrées dans notre présentation des termes. En effet, les éléments sur lesquels agissaient ces opérations étaient les ensembles extensifs (ensembles E) des concepts, ou des sous-ensembles de ceux-ci si les concepts étaient déterminés, et qui consistaient respectivement en la réunion et l’intersection (de la logique des classes) de ces ensembles. Or ici les concepts ne sont plus considérés sous cet aspect ; le seraient-ils que ce que représente une proposition est alors un élément appartenant au concept de fait, d’action, ou d’état : si on peut concevoir la réunion de deux éléments, on ne voit pas ce que peut être leur intersection. L’approche intuitive de ces opérations binaires nous conduit alors à adopter l’interprétation de la logique des propositions, où les opérations È et Ç y consistent en la disjonction et la conjonction qui relient deux propositions, qu’on peut représenter dans le langage naturel par les connecteurs ou et et, ou ayant un sens inclusif (ces représentations ne sont que partielles, le langage naturel disposant également d’autre moyens pour représenter ces opérations).

          En effet, il existe une symétrie entre d’une part la réunion, qui aboutit à ce qu’un élément quelconque de deux ensembles réunis appartient à l’un et/ou à l’autre, et donc l’opération ou, et d’autre part l’intersection, qui aboutit à ce qu’un élément quelconque de  cette intersection de deux ensembles qui ont une partie commune appartient à l’un et à l’autre, et donc l’opération et. On utilisera donc, comme en logique des propositions, deux signes différents afin de distinguer ces opérations de la réunion et de l’intersection de la logique des classes, qui étaient utilisées dans le treillis des concepts en forme normale. La disjonction sera alors notée Ú, qui reliera deux propositions comme « il fait beau ou j’ai gagné au loto » (ou étant ici compris comme un et/ou, que l’on rencontre souvent en anglais - and/or), et la conjonction sera notée Ù, qui reliera deux propositions comme « il fait beau et j’ai gagné au loto ». Comme pour les concepts en forme normale, ces opérations produisent un nouveau concept, que l’on appellera alors concept surcomposé et qui est construit à partir de deux ou plusieurs concepts complexes en forme développée.

          La valeur de vérité du concept surcomposé est alors fonction de celle des concepts composants. Evidemment, chaque opération définit cette valeur d’une manière caractéristique. Pour représenter ces valeurs, on n’utilise plus des diagrammes de Venn, mais des tables de vérité :

 

 

p et q représentent deux propositions. La valeur 1 représente la vérité de la proposition concernée, la valeur 0 sa fausseté. On lit alors sur une même ligne la valeur du concept surcomposé dans la colonne centrale, résultant des valeurs respectives des propositions composantes, dont l’ensemble est caractéristique de l’opération, et constitue son évaluation, laquelle regroupe les quatre cas possibles : ainsi si p représente « il fait beau » et q représente « j’ai gagné au loto », le concept surcomposé « il fait beau et j’ai gagné au loto » n’est vrai que si les deux concepts composants le sont également.. A contrario, « il fait beau et/ou j’ai gagné au loto » n’est faux que si les deux concepts composants le sont également[12].

 

2. Les demi-treillis du treillis des concepts en forme développée

 

          Considérons à nouveau la structure de treillis, et rappelons-nous ses axiomes fondamentaux :

 

(L’₁)  a £ a Ú b

(L’₂)  b £ a Ú b

(L’₃)  a £ c  et b £ c  implique que  a Ú b £ c

 

(L’’₁) a Ù b £ a

(L’’₂) a Ù b £ b

(L’’₃) c £ a  et c £ b  implique que  c £ a Ù b

 

          L’ensemble E ainsi structuré est maintenant l’ensemble des concepts en forme développée, ou ensemble des propositions, pour utiliser la terminologie grammaticale courante. La relation d’ordre partiel est ici spécialisée en relation conditionnelle. Dans le langage naturel, sa représentation la plus courante est la relation [proposition hypothétique/proposition principale] :

 

p £ q    ou        p É q (le signe É est l’équivalent de £ en logique des propositions)

 

« si c’est un bon jour, alors j’ai gagné au loto »

 

Cette relation permet de transmettre la vérité de la proposition à gauche à la proposition à droite. Comme le treillis des concepts en forme normale, les axiomes du treillis des propositions décomposent celui-ci en deux demi-treillis.

 

a. le sup-demi-treillis

 

 

On parcourt le demi-treillis de bas en haut. Si la proposition a est vraie, à savoir ici « il fait beau », alors le segment supérieur peut être parcouru, et la proposition à laquelle il aboutit est vraie (ici [a Ú b] ), et donc la proposition « il fait beau et/ou j’ai gagné au loto » est vraie. En effet, suivant la table de vérité de la relation « et/ou », le premier axiome L’1 représente que la proposition à droite (complexe) est toujours vraie lorsque a est vraie. Suivant le deuxième axiome L’2, la proposition complexe est toujours vraie lorsque b est vraie : elle est donc toujours vraie lorsque l’une des propositions composantes est vraie, ou que les deux le sont. On observera également que la proposition qui n’est pas considérée comme vraie au départ (b par exemple, si l’on a considéré que c’était a qui était vraie) peut être vraie ou non, et que son contenu n’est alors pas obligatoirement déterminé. Enfin le troisième axiome L’3 traduit la relation d’ordre qui existe entre éléments non contigus :

 

 

Le fait que « s’il fait beau, alors je suis heureux » et « si j’ai gagné au loto, alors je suis heureux » sont des propositions vraies implique que « s’il fait beau ou si j’ai gagné au loto, alors je suis heureux » est une proposition vraie. Cet axiome permet donc d’établir quelles relations régissent deux propositions, leur majorant, et les propositions supérieures au majorant.

 

b. L’inf-demi-treillis

 

 

Le parcours de lecture est le même que celui du sup-demi-treillis. Si « il fait beau et j’ai gagné au loto » est vrai, en fonction des deux axiomes L’’1 et L’’2, chaque proposition composante est vraie. De même, l’axiome L’’3 permet l’extension aux relations non contiguës :

 

 

 

Le fait que « si c’est un très bon jour, alors il fait beau » est vraie ainsi que « si c’est un très bon jour, alors j’ai gagné au loto » implique que « si c’est un très bon jour, alors il fait beau et j’ai gagné au loto» est une proposition vraie[13].

 

            Le treillis des concepts en forme normale était apparu, en tant que structure normative, comme faisant l’objet de variations conjoncturelles mais aussi d’une stabilité structurelle. Il en va de même pour le treillis des concepts en forme développée. D’un côté, la variation conjoncturelle est évidente en ce que les axiomes L’1 à L’3 permettent de transférer la valeur vrai d’une proposition a à une proposition b avec la même liberté que le treillis des concepts en forme normale autorisait pour l’inclusion des concepts : à priori, n’importe quelle proposition peut être désignée par a ou b. La stabilité structurelle n’existe par contre pas, ici, de manière immédiate comme dans le treillis des concepts en forme normale, par le fait que les concepts complexes en forme développée ne sont que des éléments des groupes que sont les faits, actes et états, et qu’en conséquence ne peut exister entre eux la relation d’inclusion qui liait les groupes et les sous-groupes relatifs à une même opération d’observation ou de conceptualisation. Elle résulte alors uniquement de l’obligation pour le locuteur de s’assurer par des moyens ad hoc que les propositions manipulées sont vraies (et nous avons vu plus haut que la vérité, du point de vue sémantique qui est le nôtre, consiste essentiellement à respecter des règles) : la stabilité structurelle du treillis des concepts en forme développée résultant de la vérité des concepts construits est ainsi la garante, en quelque sorte, de la cohérence du langage naturel, ce qu’avaient très bien aperçu les logiciens scolastiques : ex falso sequitur quodlibet^[14]. Cependant, le treillis ainsi présenté n’apparaît pas encore réellement comme une structure nécessaire, d’une part parce que notre interprétation des opérations binaires È et Ç  ne repose pour l’instant que sur une relation assez vague, une symétrie avec celle de la logique des classes, et d’autre part parce que les opérations ‘et’, ‘ou ’ inclusif, ‘si...alors’ ne constituent qu’une partie de celles qu’utilise le langage naturel (qu’en est-il du ‘ou’ exclusif, représenté par exemple par le connecteur complexe ‘soit que... soit que’, de l’opération ‘pas en même temps que’ que l’on rencontre par exemple dans la proposition « on ne peut pas avoir le beurre et l’argent du beurre »). Il nous faut donc poursuivre cette exploration du treillis pour en circonscrire parfaitement la capacité de représentation, et voir ainsi s’il existe des liens entre les deux opérations binaires de base, la relation d’ordre ‘si... alors’, et les autres opérations mises en oeuvre par le langage naturel. C’est l’étude des caractéristiques et propriétés du treillis de la logique des propositions qui vont, dans cette perspective, constituer notre prochaine étape

 

3. La logique des propositions

 

          La logique des propositions fait, comme la logique des classes, l’objet de calculs, c’est-à-dire qu’on a construit un certain nombre de systèmes formels qui permettent d’étudier d’une part quel ensemble d’opérations vont intervenir dans l’élaboration des propositions vraies, et d’autre part quelles relations remarquables sont utilisées constamment dans le déroulement des raisonnements de notre pensée. Mais en tant que construction formelle qui, nous l’avons déjà précisé, est élaborée ad hoc par le logicien pour représenter une théorie, la logique des propositions a généré plusieurs systèmes : existent ainsi principalement la logique absolue A, la logique positive P, la logique minimale M, la logique intuitionniste I, enfin la logique classique C. Dès lors se pose la question de savoir laquelle de ces logiques des propositions interviendrait comme instrument constitutif du langage naturel. En second lieu viendrait l’examen de la structure du système formel considéré avec celui que nous construisons : quelles sont les opérations du langage représentées dans cette logique et quel est leur rapport avec la structure de treillis ? En troisième lieu toutes les opérations de la logique des propositions sont-elles utilisées par le langage naturel, à l’inverse représente-t-elle toutes celles-ci, suivant quelle articulation, et suffira-t-elle enfin à représenter ou offrira-t-elle les moyens de construire une représentation des modalités caractéristiques de ce langage ? Telles sont les principales questions que pose l’introduction de la logique des propositions dans notre système, et auxquelles il nous faut tenter de répondre. Nous examinerons dans ce chapitre les deux premiers points. Le troisième fera l’objet de la section suivantes et résultera de l’introduction du théorème de déduction, dont nous aborderons ici une première application.

 

3.1. Quelle logique ?

 

La réponse à cette première question est aisée : elle découle directement de l’observation des calculs que permettent d’effectuer les schémas d’axiomes des logiques considérées, dont les théorèmes sont les résultats. Considérons les schémas d’axiomes de ces logiques, qui nous seront également utiles par la suite. Ces schémas[15] sont associés aux symboles primitifs dont ils permettent, dans le calcul, de déduire les propriétés.

 

Logique absolue A

 

pour ‘É’ :        (A₁) |- P É (Q É P)

                        (A₂) |- (P É (Q É M) É ((P É Q) É (P É M))

 

pour ‘Ù’ :         (A₃) |- (P Ù Q) É P

                        (A₄) |- (P Ù Q) É Q

                        (A₅) |- (P É Q) É ((P É M) É (P É (Q Ù M)))

 

pour ‘Ú’ :         (A₆) |- P É (P Ú Q)

                        (A₇) |- Q É (P Ú Q)

                        (A₈) |- (P É M) É ((Q É M) É ((P Ú Q) É M))

 

Tous les théorèmes de cette logique sont aussi des théorèmes[16] de C, mais ils ne contiennent pas le signe (~) : on ne peut donc y exprimer la négation du langage naturel.

 

Logique positive P

 

C’est la logique A à laquelle on ajoute le schéma d’axiomes suivant, afin de rendre compte de certains des théorèmes de C qui ne peuvent être déduits de A :

 

                        (A₉) |- P Ú (P É Q)

 

Aucun théorème de cette logique ne contient non plus le signe (~).

 

Logique minimale M

 

Elle est construite à partir des schémas d’axiomes de A, plus les deux suivants :

 

                        (A₁₀) |-    ~ P É (P É ~ Q)

                        (A₁₁) |-    (P É ~ P) É ~ P

 

Il résulte de ces schémas d’axiomes que le signe (~) associé à p signifie que p est « réfutable » : on peut déduire de p un théorème faux, ce qui entraîne que (~) n’a pas le sens d’une négation.

 

Logique intuitionniste I

 

Elle est construite à partir des schémas d’axiomes de A, plus les deux suivants :

 

                        (A₁₁) |-    (P É ~ P) É ~ P

                        (A₁₂) |- ~ P É (P É Q)

 

Il résulte de ces schémas d’axiomes que le signe (~) associé à p signifie que p est « absurde » : on doit encore déduire de p un théorème comme par exemple ‘m Ù ~ m’, ce qui entraîne encore une fois que (~) n’a pas le sens d’une négation.

 

Logique classique C

 

Elle est construite à partir des axiomes A₁ à A₉, A₁₁ et A₁₂. Seuls ces schémas d’axiomes permettent d’établir les théorèmes suivants, qui ne sont pas dérivables dans les systèmes antérieurs :

 

|-  p Ú ~ p

|-  ~ ~ p É p

|-  (~ p É q) É (~ q É p)

|-  (~ p É ~ q) É (q É p)

 

d’où ressort clairement la notion de négation telle que le langage naturel la met en pratique : si « il pleut » est vrai, alors il en résulte que « il ne pleut pas » est faux, et donc que « il pleut ou il ne pleut pas », que représente par exemple le théorème ‘|-  p Ú ~ p’,  est toujours vrai (qu’il pleuve ou qu’il ne pleuve pas). De même « j’irai au cinéma si tu viens avec moi » signifie également que « si tu ne m’accompagnes pas, alors je n’irai pas au cinéma », ce que représente le théorème ‘|-  (~ p É ~ q) É (q É p)’.

 

3.2.    Le treillis de la logique des propositions

 

Dans les schémas d'axiomes de la logique des propositions C, nous retrouvons les axiomes L’₁ à L’₃  et L’’₁ à L’’₃ caractéristiques de la structure de treillis : ce sont respectivement les schémas d’axiomes A₆ à A₈ et A₃ à A₅[17]. Il en résulte que l’on peut construire un ensemble de propositions vraies muni de cette structure. S’agit-il alors de l’ensemble des propositions constructibles dans la logique des propositions ou simplement d’un sous-ensemble de celles-ci ? Afin de le déterminer, il nous faut d'abord d’une part considérer quel ensemble d’opérations font l’objet de la logique des propositions et quelles propositions complexes elles peuvent construire, et d’autre part comment celles-ci sont représentées dans le système formel comportant les signes primitifs ci-dessus mentionnés, ‘É ’, ‘Ù’, et ‘Ú’ .

 

          Les  opérations que nous avons rencontrées ont une évaluation représentée par une séquence binaire de quatre éléments : pour l’opération ‘Ù’, c'est la séquence ‘I 0 0 0’, pour l'opération ‘Ú’, c'est la séquence ‘I I I 0’, suivant les tables de vérité respectives précédemment présentées. Il existe donc potentiellement 16 opérations, dont les évaluations correspondent aux 16 combinaisons possibles de ‘0’ et de ‘I’ dans la séquence. Deux opérations sont remarquables : celle dont la séquence caractéristique ne comporte que des ‘I’, que l’on appelle une tautologie, et qui construit une proposition complexe qui est donc toujours vraie quelle que soit la valeur attribuée à ses composants, et celle dont la séquence caractéristique ne comporte que des ‘0’, et qui construit une proposition complexe respectivement toujours fausse.

          D’autre part, c’est une caractéristique remarquable que chacune des 16 opérations peut être exprimée uniquement en fonction des opérations ‘Ù’ et ‘Ú’, dans une tautologie qui met en évidence, à travers la forme dite normale disjonctive, la parenté avec leur évaluation respective. Dans l’ exemple suivant,

 

|-  (p Ú q) º [(p Ù q) Ú ( p Ù ~ q) Ú (~ p Ù q)][18]

 

la disjonction ‘p Ú q’ est vraie (fausse) en même temps que la proposition entre crochets, laquelle proposition est ainsi une sorte d’analyse de la disjonction, de même que la table de vérité correspondante :

 

Voici la liste des 16 opérations, avec leur évaluation correspondante :

 

N°	Opération (en langage naturel)	Représentation	Evaluation
1	proposition toujours vraie		I	I	I	I
2	p et/ou q	p Ú q	I	I	I	0
3	si q alors p	q É p	I	I	0	I
4	si p alors q	p É q	I	0	I	I
5	pas à la fois p et q	p | q	0	I	I	I
6	p	p	I	I	0	0
7	p si et seulement si q	p º q	I	0	0	I
8	q	q	I	0	I	0
9	non q	~ q	0	I	0	I
10	ou p ou q	p w q	0	I	I	0
11	non p	~ p	0	0	I	I
12	p et q	p Ù q	I	0	0	0
13	p et non q	p Ù ~ q	0	I	0	0
14	non p et q	~ p Ù q	0	0	I	0
15	non p et non q	~ p Ù ~ q	0	0	0	I
16	proposition toujours fausse		0	0	0	0

 

          Il résulte en premier lieu de cette propriété que toute opération est représentée dans le treillis, et que le signe particulier que nous utilisons pour la reconnaître n’est en fin de compte qu’une économie d’écriture. Considérons par exemple la proposition conditionnelle représentée par le signe ‘É’, dont la table de vérité est la suivante:

 

 

On peut l’exprimer en fonction des opérations Ú et Ù, par la tautologie :

 

|-  (p É q) º (p Ù q) Ú (~ p Ù q) Ú (~ p Ù ~ q)

 

On peut alors la représenter dans le treillis des propositions vraies de la manière suivante :

 

 

où l’on voit bien, par exemple, que la proposition « s’il fait beau, alors je suis heureux » est vraie s’il fait réellement beau et que je suis réellement heureux (p Ù q). S’il  fait  beau et que je ne suis pas heureux (p Ù ~ q), alors elle est fausse ( ce que marque la valeur 0 dans la table de vérité, et l’impossibilité de « remonter » à la proposition dans le treillis). Si par contre il ne fait pas beau, alors je peux être heureux ou non, pour des tas d’autres raisons qui ne nous intéressent pas ici ; mais je peux toujours dire alors que « si (quand) il fait beau, alors je suis heureux » est vrai dans ces cas là également:  c’est pourquoi la proposition reste vraie pour (~ p Ù q) et (~ p Ù ~ q), et donc qu’on peut « remonter » à la proposition conditionnelle dans le treillis à partir de ces cas de figure[19].

          Il résulte en second lieu de cette propriété que le système formel qui n’utilise que les signes ‘É’, ‘Ú’, ‘Ù’ et ‘~’, et dont les ebf sont ‘P’, ‘~ P’ et ‘(P) É (Q)’ pourra représenter des propositions complexes construites avec n’importe quelle opération logique puisqu’il est dès lors possible d’établir dans chaque cas une définition abréviative. Par exemple :

 

D₁     P Ú Q = df. ~ P É Q

D₂     P Ù Q = df. ~ (P É ~ Q)

D₃     P º Q = df. (P É Q) Ù (Q É P)

D₄     P w Q = df. (P É ~ Q) Ù (~ P É Q)

etc.

 

et que les schémas d’axiomes permettent de remplacer les lettres majuscules par n’importe quelle expression qui est une ebf.

          Il découle alors finalement de ces observations que toute ebf de la logique classique des propositions C appartient au treillis des propositions vraies : notre structure normative, tout comme elle englobait la logique des classes régissant les relations des concepts en forme normale,  englobe la logique des propositions qui régit celles des concepts en forme développée. On peut encore dire que les deux treillis que sont la logique des classes et celle des propositions, dont les ensembles sont respectivement composés de concepts en forme normale et de concepts en forme développée, régissent les ebf du langage naturel. Le sujet dispose donc, au sein d’un premier treillis, des opérations logiques pour opérer sur les concepts en forme développée dont les éléments, en tant que concepts en forme normale, respectent dans leurs rapports les propositions ontologiques constitutives du second treillis.

 

3.3.    Application du théorème de déduction

 

Revenons enfin sur les schémas d’axiomes caractérisant les propriétés de l’opération ‘É’ :

(A₁) |- P É (Q É P)

(A₂) |- (P É (Q É M) É ((P É Q) É (P É M))

 

Si nous appliquons le théorème de déduction (voir note 17) au schéma d’axiomes A₁, nous obtenons la règle suivante :

 

P |-  Q É P

 

qui signifie que P étant vrai par hypothèse, il existe alors Q tel qu’on puisse construire la déduction (en appliquant une nouvelle fois le théorème de déduction) :

 

Q |- P

 

Cela signifie donc simplement qu’une proposition supposée vraie est toujours déductible. Si nous représentons cette propriété graphiquement, symbolisant l’opération ‘É’ par un trait de liaison, et les propositions par un point, la déduction étant représentée par un rectangle, on peut donc construire la déduction suivante :

 

 

          Considérons maintenant le schéma d’axiomes A₂. Il permet d’établir le théorème suivant :

 

|-  (P É Q)  É (Q É M) É (P É M)

qui signifie,  si on lui applique deux fois le théorème de déduction :

 

(P É Q), (Q É M) |- P É M

 

soit, en représentation graphique :

de

 

 

on peut déduire

 

 

On peut alors représenter l’ensemble graphiquement par :

 

 

 

Sur ce graphique, les trois éléments (P, Q, M) sont ordonnées par la relation d’ordre (d) qui représente la déduction. Ce graphe représente alors les déductions suivantes :

 

d_{1 :}

1        P       hypothèse initiale : P. ((P É Q) étant supposée vraie, on peut appliquer le théorème de déduction qui donne alors P |- Q

2        Q.      P É Q

 

d_{2 :}

1        Q       hypothèse initiale : Q. Elle résulte de d₁ qui a établi que Q est vrai

3        M.     Q É M

 

d_{3 :}

1        P       hypothèse initiale : P. ((P É Q) étant supposée vraie, on peut appliquer le théorème de déduction qui donne alors P |- Q, où P est une hypothèse.

2        Q       seconde hypothèse : P É Q

3        M.     troisième hypothèse : Q É M.

 

Par pas d’induction, on en déduit alors la possibilité de construire un ordre total de n propositions reliées par la déduction. D’autre part, comme il y a correspondance biunivoque entre ‘P É Q’ et ‘P |- Q’suivant les deux parties de la démonstration du théorème de déduction, il en résulte que les P, Q, M sont également ordonnés par la relation ‘É’.